Das Seminar wird durch Tilman Becker (tibecker at math) und Rima Chatterjee (rchatt at math) betreut.

Wie halte ich einen guten Seminarvortrag? (von Prof. Manfred Lehn)

Die Umlaufzahl mißt, wie oft eine geschlossene Kurve in der Ebene einen gegebenen Punkt (nicht auf der Kurve) "umläuft". Diese Idee wird in der Regel in der Vorlesung Funktionentheorie präzisiert, wo die Umlaufzahl zur Formulierung des allgemeinen Cauchyschen Integralsatzes und des Residuensatzes benötigt wird.

In diesem Seminar wollen wir das Buch [R] von John Roe besprechen, das die Bedeutung der Umlaufzahl in vielen anderen Bereichen der Mathematik beleuchtet. Wir werden uns auf topologische Aspekte konzentrieren, aber auch Anwendungen in der Funktionalanalysis sollen betrachtet werden. Die Umlaufzahl erlaubt es, überraschende Verbindungen zwischen diesen und anderen Gebieten zu erkennen. Wie John Roe schreibt: "It's not really too much of a stretch to see the winding number as the golden cord which guides the student through the labyrinth of classical mathematics: connecting algebra and analysis, potential theory and cohomology, complex numbers and just about everything."

Die Kapitel aus dem Buch, die wir besprechen wollen, erfordern neben soliden Grundkenntnissen in mengentheoretischer Topologie (Analysis II sollte genügen) hier und dort speziellere Kenntnisse (Nullmengen, Satz von Stone-Weierstraß, Erweiterungssatz von Tietze, Hilberträume), die aber allesamt in Anhängen des Buches in elementarer Form diskutiert werden und parallel zum Seminar erarbeitet werden können. Vorkenntnisse aus der Funktionentheorie sind nicht erforderlich.

Das Seminar eignet sich für Bachelor- und Masterstudenten; letztere sollten sich die anspruchsvolleren Themen aussuchen.

Alle Kapitelangaben beziehen sich auf das Buch [R].

Vorträge:

4.4.23	Die Umlaufzahl [3.1, 3.2] Rima Chatterjee
11.4.23	Die Berechnung von Umlaufzahlen [3.3, 3.4] Tilman Becker
18.4.23	Das Zählen von Wurzeln [3.5] Lena Helmboldt
25.4.23	Kein Seminar
2.5.23	Anwendungen auf die Topologie der Ebene [4.1] Jan Cahenzli
9.5.23	Der Jordansche Kurvensatz I [4.2, 4.3] Lisa Carow
16.5.23	Der Jordansche Kurvensatz II [4.3, 4.4] Tilman Becker
23.5.23	Integration von Differentialformen [5.1, 5.2] Hannah Kleindopff
30.5.23	Kein Seminar (Pfingstwoche)
6.6.23	Umlaufzahl und Homologie I [5.3, 5.4] Luca Sommer
13.6.23	Umlaufzahl und Homologie II [5.3, 5.4] Luca Sommer
20.6.23	Rotationszahl und Krümmung [6.1, 6.2] Timo Larres
27.6.23	Kein Seminar
4.7.23	Kein Seminar
11.7.23	Fredholm- und Toeplitz-Operatoren [7.1-4] Tilman Becker

Literatur:

[R]	J. Roe: Winding Around - The Winding Number in Topology, Geometry, and Analysis, American Mathematical Society, 2015.

H. Geiges, 6.12.22