Seminar über Diskrete Morse-Theorie

H. Geiges

Wintersemester 2020/21

Dienstag 8-9:30, Seminarraum 2 (Raum 204)





Wie halte ich einen guten Seminarvortrag? (von Prof. Manfred Lehn)


Dieses Seminar richtet sich an Studenten mit guten Grundkenntnissen in Topologie. In der klassischen glatten Morse-Theorie studiert man differenzierbare Funktionen auf Mannigfaltigkeiten, deren kritische Punkte in einem geeigneten Sinne nicht-degeneriert sind. Es stellt sich heraus, daß sich mittels solcher Funktionen topologische Eigenschaften der gegebenen Mannigfaltigkeit bestimmen lassen.

Die diskrete Morse-Theorie, die in diesem Seminar studiert werden soll, ist ein Analogon dieser Theorie für eine größere Klasse von topologischen Räumen, die lediglich eine Zellenzerlegung besitzen. Die resultierende Theorie ist zum einen einfacher als die glatte Morse-Theorie, zum anderen hat sie vielfältige Anwendungen in Bereichen wie Kombinatorik, Graphentheorie oder Daten-Analyse.

Das Seminar orientiert sich in erster Linie an dem Buch von Scoville. Dieses Buch ist bei der AMS im Moment günstig als e-Book zu erwerben. Die anderen Bücher in der Literaturliste dienen als ergänzende Literatur oder für das Nachschlagen von topologischen Grundlagen.

Da gegenwärtig nicht vorhersehbar ist, ob im Wintersemester Seminare in Präsenz abgehalten werden können, wird es frühestens im Oktober eine Vorbesprechung geben. Sie können sich aber schon per e-mail bei mir für das Seminar anmelden. Falls die Präsenzlehre weiterhin ausfallen sollte, würde ich das Thema stattdessen als Vorlesung präsentieren. Mit einer Hausarbeit könnten Sie dann aber dennoch die Anerkennung der Veranstaltung als Seminar bekommen.


Vorträge:

3.11.20 Simplizialkomplexe
N.N.
10.11.20 Einfacher Homotopietyp
N.N.
17.11.20 Diskrete Morse-Funktionen
N.N.
24.11.20 Gradientenfelder I
N.N.
1.12.20 Gradientenfelder II
N.N.
8.12.20 Simpliziale Homologie I
N.N.
15.12.20 Simpliziale Homologie II
N.N.
22.12.20 Diskrete Morse-Ungleichungen
N.N.
13.1.21 Simplizialer Kollaps
N.N.
20.1.21 Persistente Homologie I
N.N.
27.1.21 Persistente Homologie II
N.N.

Wenn noch weitere Termine möglich sind, würden wir eine Diskussion von Morse-Homologie anschließen.


Literatur:
[F] Robin Forman: Morse theory for cell complexes,
Advances in Mathematics 134 (1998), 90-145.
[J] K. Jänich: Topologie,
Springer, 5. Auflage 1996.
[K] K. P. Knudson: Morse Theory: smooth and discrete,
World Scientific, 2015.
[S] N. A. Scoville: Discrete Morse Theory,
American Mathematical Society, 2019.
H. Geiges, 3.6.20