Differentialtopologie, Vorlesung und Übungen

H. Geiges

Sommersemester 2021

Vorlesung: Do 8-9:30 als Zoom-Sitzung



Sprechstunde: nach Vereinbarung

Zuständiger Assistent: Murat Sağlam

Bitte melden Sie sich zu dieser Vorlesung per e-mail an mich und an Murat Sağlam (msaglam at math) an.
Bitte geben Sie dabei Ihren Studiengang und Ihre Matrikelnummer an.
Sie erhalten dann zu gegebener Zeit einen Zoom-Link und das Skript zur Vorlesung.
Die Vorlesung find nach dem Prinzip des "flipped classroom" statt, d.h. Sie lernen anhand des Skriptes,
und in den Zoom-Sitzungen (zu der oben angegebenen Zeit) besprechen wir Ihre Fragen.

Die Übungsblätter finden Sie unten auf dieser Seite.
Die Übungen finden ebenfalls als Zoom-Sitzungen statt,
geleitet von Herrn Sağlam.
Einen Termin dafür vereinbaren wir in der ersten Vorlesung.

Um diese zweistündige Vorlesung für 9 Leistungspunkte angerechnet zu bekommen,
müssen Sie etwas Material über den reinen Vorlesungsstoff hinaus bearbeiten.
Geplant ist eine mündliche Prüfung, für die Sie etwa zwei Abschnitte aus meinen umfangreicheren Skripten
zur Differentialtopologie zusätzlich vorbereiten müssen (nach eigener Wahl, in Absprache mit mir).


Die Differentialtopologie studiert Mannigfaltigkeiten, d.h. lokal euklidische Räume (mit gewissen weiteren Eigenschaften), und Abbildungen zwischen diesen. Mannigfaltigkeiten sind in vielen verschiedenen Gebieten von Bedeutung: als Lie-Gruppen in der Algebra und Geometrie, als Raum-Zeit in der Relativitätstheorie, als Phasenräume und Energieflächen in der Mechanik etc. In diesen Anwendungen treten Mannigfaltigkeiten mit einer zusätzlichen Struktur auf, wie etwa einer Riemannschen Metrik, einem dynamischen System, oder einer symplektischen Struktur. Die Differentialtopologie dagegen studiert Mannigfaltigkeiten an sich und verwendet zusätzliche Strukturen allenfalls als Hilfsmittel. Insbesondere sind die Fragen der Differentialtopologie globaler Natur, z.B.: Wann sind zwei Mannigfaltigkeiten äquivalent? Wann läßt sich eine Mannigfaltigkeit in eine andere einbetten?

Diese zweistündige Vorlesung richtet sich an Studenten im Master-Studium.

Literatur:
Th. Bröcker, K. Jänich: Einführung in die Differentialtopologie, Springer.
M. W. Hirsch: Differential Topology, Springer.
J. W. Milnor: Topology from the Differentiable Viewpoint, University Press of Virginia.
C. T. C. Wall: Differential Topology, Cambridge University Press, 2016.

Für die Grundlagen der mengentheoretischen Topologie:
K. Jänich: Topologie, Springer.





Übungsblätter:




Inhaltsverzeichnis:

1. Mannigfaltigkeiten
2. Der Tangentialraum
3. Reguläre Werte
4. Partition der Eins
5. Einbettungen
6. Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten
7. Vektorbündel
8. Mannigfaltigkeiten mit Rand
9. Isotopien
10. Ambiente Isotopien
11. Die zusammenhängende Summe
12. Die Gruppe Γm
13. Konstruktion exotischer 7-Sphären

H. Geiges, 14.12.20