Differentialtopologie, Vorlesung und Übungen

H. Geiges

Sommersemester 2021

Vorlesung: Do 8-9:30 im Stefan-Cohn-Vossen-Raum des Mathematischen Instituts (Raum 313)



Sprechstunde: nach Vereinbarung (Raum 222)


Die Differentialtopologie studiert Mannigfaltigkeiten, d.h. lokal euklidische Räume (mit gewissen weiteren Eigenschaften), und Abbildungen zwischen diesen. Mannigfaltigkeiten sind in vielen verschiedenen Gebieten von Bedeutung: als Lie-Gruppen in der Algebra und Geometrie, als Raum-Zeit in der Relativitätstheorie, als Phasenräume und Energieflächen in der Mechanik etc. In diesen Anwendungen treten Mannigfaltigkeiten mit einer zusätzlichen Struktur auf, wie etwa einer Riemannschen Metrik, einem dynamischen System, oder einer symplektischen Struktur. Die Differentialtopologie dagegen studiert Mannigfaltigkeiten an sich und verwendet zusätzliche Strukturen allenfalls als Hilfsmittel. Insbesondere sind die Fragen der Differentialtopologie globaler Natur, z.B.: Wann sind zwei Mannigfaltigkeiten äquivalent? Wann läßt sich eine Mannigfaltigkeit in eine andere einbetten?

Diese zweistündige Vorlesung richtet sich an Studenten im Master-Studium.

Literatur:
Th. Bröcker, K. Jänich: Einführung in die Differentialtopologie, Springer.
M. W. Hirsch: Differential Topology, Springer.
J. W. Milnor: Topology from the Differentiable Viewpoint, University Press of Virginia.
C. T. C. Wall: Differential Topology, Cambridge University Press, 2016.

Für die Grundlagen der mengentheoretischen Topologie:
K. Jänich: Topologie, Springer.





Übungsblätter:




Inhaltsverzeichnis:

1. Mannigfaltigkeiten
2. Der Tangentialraum
3. Reguläre Werte
4. Partition der Eins
5. Einbettungen
6. Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten
7. Vektorbündel
8. Mannigfaltigkeiten mit Rand
9. Isotopien
10. Ambiente Isotopien
11. Die zusammenhängende Summe
12. Die Gruppe Γm
13. Konstruktion exotischer 7-Sphären

H. Geiges, 14.12.20