Sprechstunde: nach Vereinbarung (Raum 222)

Übungen: Mi 14-15:30, Übungsraum 2 (Pavillon), Beginn: 13.4.22

Hier der Link zum ILIAS-Kurs. Der zuständige Assistent ist Murat Sağlam (msaglam at math).

Diese Vorlesung beschäftigt sich mit einem Satz von Gromov, der als Beginn der modernen Symplektischen Topologie angesehen werden kann.

Aus der klassischen Mechanik (und meiner Vorlesung Analysis III) kennen Sie den Satz von Liouville, der besagt, daß der Hamiltonsche Fluß im Phasenraum volumenerhaltend ist. Tatsächlich erhält er sogar die kanonische symplektische Form auf dem Phasenraum.

Lange war nicht klar, inwieweit symplektische Abbildungen restriktiver als volumenerhaltende Abbildungen sind. Das änderte sich im Jahre 1985, als Gromov den bis heute gefeierten nonsqueezing-Satz bewies: Ein Ball vom Radius r bettet symplektisch in einen Zylinder vom Radius R nur dann ein, wenn r < R.

Grundlage des Beweises ist die spektakuläre Beobachtung, daß sogenannte pseudoholomorphe Kurven sich "fast" wie holomorphe Kurven verhalten, wenn die relevante fast-komplexe Struktur symplektisch "gezähmt" ist.

In dieser Vorlesung wird ein Beweis des nonsqueezing-Satzes gegeben, wobei (soweit zeitlich möglich) die gesamte notwendige Theorie pseudoholomorpher Scheiben entwickelt wird.

Erwartet werden gute Vorkenntnisse über Funktionentheorie, Mannigfaltigkeiten und allgemeine Topologie. Vorkenntnisse in Funktionalanalysis sind hilfreich; die relevanten Themen sollen aber in der Vorlesung vorgestellt werden.

Literatur:

A. Cannas da Silva: Lectures on Symplectic Geometry, Springer, 2001
H. Geiges, K. Zehmisch: A Course on Holomorphic Discs, Buch in Vorbereitung
D. McDuff, D. Salamon: J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, AMS, 2012
D. McDuff, D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology, Oxford University Press, 2017

Kriterium für die Zulassung zur Abschlußprüfung: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.

Inhaltsverzeichnis: (im Aufbau)

1. Der nonsqueezing-Satz von Gromov
1.1. Symplektische Formen
1.2. Der Satz von Gromov
1.3. Beweisidee

2. Das Monotonie-Lemma
2.1. Symplektische Energie holomorpher Kurven
2.2. Beweis des Monotonie-Lemmas
2.3. Wirkung und Energie von Schleifen

3. Der Modulraum
3.1. Symplektische Energie holomorpher Scheiben
3.2. Flache Scheiben
3.3. Eine Schranke an die Ränder

4. C¹-Schranken
4.1. C⁰-Schranken
4.2. Das Randlemma von E. Hopf
4.3. Ränder sind eingebettet
4.4. Die Fréchet-Metrik
4.5. Der Satz von Arzelà-Ascoli

5. Blasenbildung
5.1. Beispiele
5.2. Gradientenschranken
5.3. Eine asymptotische isoperimetrische Ungleichung

6. Die a-priori-Abschätzung
6.1. Die inhomogene Cauchy-Riemann-Gleichung
6.2. Die Calderón-Zygmund-Ungleichung
6.3. Die Poincaré-Ungleichung
6.4. Die a-priori-Abschätzung

7. Bootstrapping
7.1. Die Sobolev-Ungleichung
7.2. Die Sobolev-Norm von Produkten
7.3. Die C^k-Schranken
7.4. Das bootstrapping-Argument

8. Die Linearisierung
8.1. Differenzierbarkeit in Banach- und Fréchet-Räumen
8.2. Die Linearisierung des Abbildungsraumes
8.3. Räume stetiger Abbildungen sind glatte Mannigfaltigkeiten
8.4. Die Linearisierung des nichtlinearen Cauchy-Riemann-Operators

9. Die Sobolev-Vervollständigung
9.1. Sobolev-Räume
9.2. Sobolev-Einbettung
9.3. Ableitungsregeln
9.4. Eine Banach-Mannigfaltigkeit von Scheiben
9.5. Die Differenzierbarkeit des nichtlinearen Cauchy-Riemann-Operators

10. Elliptische Regularität
10.1. Eine lokale Abschätzung
10.2. Der Verschiebungsoperator
10.3. Beweis des Regularitätssatzes

11. Fredholm-Theorie
11.1. Fredholm-Operatoren
11.2. Der Fredholm-Index des nichtlinearen Cauchy-Riemann-Operators
11.3. Transformation zu einem gestörten ∂-Operator
11.4. Fredholm plus kompakt ist Fredholm

12. Reguläre Werte und der Satz von Sard-Smale
12.1. Der Satz über implizite Funktionen
12.2. Reguläre Werte
12.3. Der Satz von Sard-Smale
12.4. Beweisidee dafür, daß der Modulraum eine Mannigfaltigkeit ist
12.5. Der Floer-Raum von fast-komplexen Strukturen

13. Das lokale Verhalten J-holomorpher Kurven
13.1. Eine punktweise lineare Gleichung
13.2. Das Carlemansche Ähnlichkeitsprinzip
13.3. Injektive Punkte
13.4. Das Schnittverhalten J-holomorpher Kurven

H. Geiges, 27.11.21