Sprechstunde: Di 15.30-16.30, Do 10-11

Zuständiger Assistent: Norman Thies (Raum 206)

Hier folgt der Link zum ILIAS-Kurs.

Die Master-Vorlesung Algebraische Topologie mit Schwerpunkt auf der Homologietheorie richtet sich an Studenten ab dem 5. Semester. Laut Frank Adams, einem der bedeutendsten Topologen des letzten Jahrhunderts, sieht ein Kurs in Homologietheorie typischerweise wie folgt aus. 13 Wochen: Wie baut man ein Auto? --- Eine Woche: Warum ist es gut, ein Auto zu haben? Weil man dann von A nach B fahren kann.

In dieser Einführung in die Homologietheorie sollen dagegen von Anfang an geometrische Anwendungen mit im Vordergrund stehen. Zunächst wird kursorisch die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes behandelt und zur vollständigen Klassifikation von Flächen verwendet. Danach wird die Homologietheorie entwickelt, mit Anwendungen (u.a.) aus der geometrischen Topologie (Struktur von Mannigfaltigkeiten), aus der Gastronomie (Schinken-Sandwich-Theorem) und der Meteorologie: Auf der Erde gibt es stets zwei antipodale Punkte, an denen die gleiche Temperatur und Luftfeuchtigkeit herrschen.

Erforderliche Vorkenntnisse: Mengentheoretische Topologie, elementare Algebra (Gruppen, Ringe, Homomorphismen). Spezielle Kenntnisse aus der Vorlesung Algebra werden nicht vorausgesetzt. Ich werde annehmen, daß das Konzept der Fundamentalgruppe, wie z.B. in meinen Vorlesungen über Funktionentheorie oder Flächen behandelt, bereits bekannt ist. Man kann dies aber auch anhand des Skriptes nacharbeiten. Kenntnisse über (Unter-)Mannigfaltigkeiten sind hilfreich, werden aber weitestgehend nicht vorausgesetzt.

Literatur:

M.A. Armstrong: Basic Topology, Springer, 1983.
G.E. Bredon: Topology and Geometry, Springer, 1993.
T. tom Dieck: Topologie, 2. Auflage, de Gruyter, 2000.
A. Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.
K. Jänich:Topologie, Springer, 1996.
W.S. Massey: A Basic Course in Algebraic Topology, Springer, 1991.

Für den Abschnitt über Differentialformen auch meine Vorlesung Analysis III und
I. Agricola, Th. Friedrich: Globale Analysis, Vieweg, 2001.

Zulassungsvoraussetzung zur Abschlußprüfung: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.

Übungsblätter:

Inhaltsverzeichnis:

0. Motivation

1. Flächen

2. Homotopie und Fundamentalgruppe
2.1. Homotopie und Homotopieäquivalenz
2.2. Konstruktion der Fundamentalgruppe
2.3. Die Fundamentalgruppe von S¹
2.4. Anwendungen
-- Der Brouwersche Fixpunktsatz
-- Der Fundamentalsatz der Algebra
2.5. Die Fundamentalgruppe von Flächen

3. Homologietheorie
3.1. Definition der singulären Homologiegruppen
3.2. Der von einer Abbildung induzierte Homomorphismus
3.3. Relative Homologiegruppen
3.4. Der Ausschneidungssatz

4. Berechnung von Homologiegruppen
4.1. Homologie von Sphären
-- Der Brouwersche Fixpunktsatz
4.2. Der Abbildungsgrad
-- Der Satz vom Igel
4.3. Die Mayer-Vietoris-Sequenz
-- Homologie von Sphären und Flächen
4.4. Der verallgemeinerte Jordansche Kurvensatz
-- Jordan-Brouwer Trennungssatz, Gebietsinvarianz
4.5. H₁(X) und π₁(X)

5. CW-Komplexe
5.1. Konstruktion und Beispiele
5.2. Ankleben von Zellen und Homologie
-- Homologie von projektiven Räumen
5.3. Zelluläre Homologie
5.4. Die Euler-Charkteristik

6. Homologie mit Koeffizienten
6.1. Definition und Beispiele
6.2. Überlagerungen und der Satz von Borsuk-Ulam
-- Das Schinken-Sandwich-Theorem
-- Der Satz von Lusternik-Schnirelmann

7. Kohomologietheorie
7.1. Singuläre Kohomologie
7.2. Zwischenspiel: Die Dimension reeller Divisionsalgebren
7.3. De-Rham-Kohomologie
7.4. Der de-Rham-Isomorphismus
7.5. De-Rham-Kohomologie von CPⁿ und S^k× S^l
7.6. De-Rham-Theorie von Flächen: Schnittzahl und Poincaré-Dualität

8. Klassifikation von Mannigfaltigkeiten

H. Geiges, 1.6.26