SS 13 Marinescu

1. Blatt zur Vorlesung Funktionentheorie Abgabe: 22–23.04.2013 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Bestimme die Kartesische und Polarform der Zahl z = −\frac{4}{1 + i\sqrt{3}} · Berechne z^{6}.

(b) Berechne (1 + i)^{200}, (\frac{1 + i}{1 − i})^{n} + (\frac{1 − i}{1 + i})^{n}, (wobei n ∈ ℕ), (\frac{1 + i\sqrt{3}}{1 − i})^{20}.

2. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei w = a + ib ∈ ℂ. Bestimme z = x + iy ∈ ℂ so dass z^{2} = w.

(b) Bestimme die Quadratwurzeln von w = \sqrt{3} + i in Kartesichen und Polarform. Berechne cos \frac{π}{12} ·

(c) Löse die Gleichungen z^{2} − 2iz − 1 + 2i = 0, iz^{8} + iz^{4} + 1 + i = 0.

(d) Löse die Gleichungen z^{6} = −\frac{4}{1 + i\sqrt{3}} , z^{5} = \frac{(1 + i\sqrt{3})^{4}}{(1 + i)^{2}} ·

3. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Zeige, dass die stereographische Projektion σ : S^{2} → ℂ̂ ein Homöomorphismus ist.

(b) Zeige, dass die stereographische Projektion Kreise auf S^{2} auf Kreise bzw. Geraden in ℂ̂ abbildet (eine Gerade in ℂ̂ ist eine gewöhnliche Gerade zusammen mit dem Punkt ∞).

(c) Eine Spiegelung von S^{2} an der Äquatorebene induziert eine Selbstabbildung von ℂ̂. Welche?

(d) Die euklidische Metrik auf S^{2} ⊂ ℝ^{3} wird mittels der stereographischen Projektion auf ℂ̂ übertragen: Ist z = σ(ξ) und w = σ(η) so erhält man die chordale Metrik χ(z, w) = ∥ξ − η∥. Zeige, dass χ eine Metrik ist. Berechne explizit χ(z, ∞) für z ≠ ∞ und χ(z, w) für z, w ≠ ∞.

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte)

(a) Sei a ∈ ℂ, |a| < 1. Zeige, dass für alle z ∈ ℂ gilt

1 − |\frac{z − a}{1 − āz} |^{2} = \frac{(1 − |a|^{2})(1 − |z|^{2})}{|1 − āz|^{2}} ·

Finde die komplexen Zahlen z mit |\frac{z − a}{1 − āz} | ≤ 1.

(b) Sei z ∈ ℂ\\{1\}. Zeige |z| = 1 ⇔ \frac{1 + z}{1 − z} ∈ iℝ.