SS 13 Marinescu

2. Blatt zur Vorlesung Funktionentheorie Abgabe: 29–30.04.2013 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Über den Seiten eines spitzwinkligen Dreiecks ABC werden nach außen gleichseitige Dreiecke ABC′, BCA′ bzw. ACB′ mit den Mittelpunkten D, E bzw. F erichtet. Zeige dass das Dreieck DEF gleichseitig ist.

2. Aufgabe (4 Punkte)

Jeder komplexen Matrix A = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ GL(2) wird die Möbiustransformation

M_{A} : ℂ̂ → ℂ̂, M_{A}(z) = \frac{az + b}{cz + d} zugeordnet.

(a) Zeige, dass M_{A} : ℂ̂ → ℂ̂ ein Homöomorphismus ist und finde (M_{A})^{−1}.

(b) Zeige, dass die Menge M aller Möbiustransformationen eine Gruppe ist (wobei die Gruppenverknüpfung die Hintereinanderausführung von Abbildungen ist).

(c) Zeige, dass die Abbildung GL(2) → M, A ↦ M_{A} ein Gruppenhomomorphismus mit Kern ℂI_{2} ist.

(d) Zeige, dass eine von der Identität verschiedene Möbiustransformation mindestens einen und höchstens zwei Fixpunkte besitzt.

3. Aufgabe (4 Punkte) Das Doppelverhältnis vier verschiedener komplexer Zahlen ist als DV(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}) := \frac{z_{1}−z_{3}}{z_{1}−z_{4}} : \frac{z_{2}−z_{3}}{z_{2}−z_{4}} definiert.

(a) Zeige: Vier Punkte z_{i}, i = 1, …, 4 in der Ebene liegen genau dann auf einem Kreis oder einer Geraden, wenn das Doppelverhältnis DV(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}) reell ist.

(b) Zeige, dass eine Möbiustransformation M_{A} das Doppelverhältnis nicht verändert, d. h. DV(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}) = DV(w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}), wobei w_{j} = M_{A}(z_{j}) für j = 1, …, 4.

(c) Eine Teilmenge von ℂ̂ heißt verallgemeinerte Kreislinie, falls sie entweder eine Kreislinie in ℂ oder eine (nicht notwendig durch 0 gehende) Gerade vereinigt mit dem Punkt ∞ ist. Zeige, dass Möbiustransformationen verallgemeinerte Kreislinien auf verallgemeinerte Kreislinien abbilden.

(d) Es seien (z_{1}, z_{2}, z_{3}) und (w_{1}, w_{2}, w_{3}) zwei Tripel jeweils verschiedener Punkten in ℂ̂. Zeige, dass es genau eine Möbiustransformation M_{A} gibt mit M_{A}(z_{j}) = w_{j} für j = 1, 2, 3.

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Betrachte A = \{x + i sin \frac{1}{x} : x > 0\}.

(a) Zeige, dass A zusammenhängend und wegzusammenhängend ist.

(b) Bestimme Ā und zeige, dass Ā zusammenhängend ist. Zeige, dass Ā nicht wegzusammenhängend ist.