SS 13 Marinescu

3. Blatt zur Vorlesung Funktionentheorie Abgabe: 6–7.05.2013 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei ℍ = {z ∈ ℂ : Im z > 0} die obere Halbebene. Finde eine Möbiustransformation M_{A} die ℍ biholomorph auf 𝔻 abbildet. Ansatz: Suche M_{A}, so dass den Rand von ℍ (d. h. die reelle Achse) auf dem Rand von 𝔻 (d. h. die Kreislinie) abbildet, z. B. M_{A}(0) = −1, M_{A}(1) = −i, M_{A}(∞) = 1.

(b) Zeige, dass die Abbildung ℍ → ℂ_{−}, z ⟼ −z^{2} biholomorph ist. Gebe eine biholomorphe Abbildung 𝔻 → ℂ_{−} an.

2. Aufgabe (4 Punkte) Sei D ∈ ℂ^{∗} ein Gebiet.

(a) Sei ℓ : D → ℂ eine Logarithmusfunktion. Die folgenden Aussagen über eine Funktion ℓ̂: D → ℂ sind äquivalent:

(i) ℓ̂ ist eine Logarithmusfunktion in D.

(ii) Es gibt n ∈ ℤ mit ℓ̂= ℓ + 2πin.

(b) Die folgenden Aussagen über eine holomorphe Funktion ℓ : D → ℂ sind äquivalent:

(i) ℓ ist eine Logarithmusfunktion.

(ii) Es gilt ℓ′(z) = \frac{1}{z} und es gibt a ∈ D mit exp(ℓ(a)) = a.

(c) Sei ℓ(z) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} (z − 1)^{n}. Zeige dass ℓ eine Logarithmusfunktion in B_{1}(1)

ist, nämlich ℓ(z) = log z, z ∈ B_{1}(1), wobei log den Hauptzweig des Logarithmus bezeichret.

(d) Zeige, dass in ℂ^{∗} existieren keine Logarithmusfunktionen.

3. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Zeige, dass 2i sin z = e^{−iz}(e^{2iz} − 1), 2 cos z = e^{i(π−z)} (e^{2i(z− \frac{1}{2} π)} − 1) und sin z = 0 ⇔ z ∈ πℤ, cos z = 0 ⇔ z ∈ \frac{π}{2} + πℤ.

(b) Definiere die Cotangens - und Tangensfunktion durch cot z := \frac{cos z}{sin z} , z ∈ ℂ\πℤ

und sin z := \frac{sin z}{cos z} , z ∈ ℂ\ (\frac{π}{2} + πℤ). Zeige, dass cot und tan holomorph sind und

cot′ z = −\frac{1}{sin^{2} z} , tan′ z = \frac{1}{cos^{2} z}.

(c) Zeige, dass cot z = i (1 − \frac{2}{1 − e^{2iz}} ) , tan = i (1 − \frac{2}{1 + e^{−2iz}} ).

(d) Zeige, dass cot und tan periodisch von Minimalperiode π sind.

Bitte wenden Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte)

Betrachte die Arcustangensreihe a(z) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{z^{2n+1}}{2n + 1} ·

(a) Zeige, dass die Reihe a Konvergenzradius 1 hat.

(b) Zeige, dass a′(z) = \frac{1}{1 + z^{2}} , z ∈ B_{1}(0) =: 𝔻.

(c) Da tan 0 = 0, ist die Funktion a(tan z) in einer Kreisscheibe B_{r}(0) definiert und holomorph. Zeige, dass a(tan z) = z in B_{r}(0). Die Identität a(tan z) = z macht die Bezeichnung a = arctan (Arcustangens) verständlich.

(d) Zeige, dass tan(arctan z) = z für z ∈ 𝔻.