SS 13 Marinescu

4. Blatt zur Vorlesung Funktionentheorie Abgabe: 13–14.05.2013 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(i) Sei Δ ⊂ ℂ ein offenes Dreieck. Sei f holomorph in Δ und stetig auf \overline{Δ}. Zeige, dass ∫_{∂Δ} f(z)dz = 0. (ii) Sei D ein Sterngebiet und L eine Gerade. Sei f stetig in D und holomorph in D \ L. Zeige, dass f eine Stammfunktion auf D besitzt und ist holomorph in D.

2. Aufgabe (4 Punkte)

Sei G = ℂ\\{iy ∈ ℂ : |y| ≥ 1, y ∈ ℝ\} und f : ℂ\\{i\} → ℂ , f(z) = \frac{1}{1 + z^{2}} · Bestimme

eine Stammfunktion von f|_{G} . Besitzt f eine Stammfunktion auf ℂ \ {i}? Berechne

∫_{|z−i|=1} f(z) dz, ∫_{|z+i|=1} f(z) dz und ∫_{|z|=2} f(z) dz.

3. Aufgabe (4 Punkte)

(i) Sei R > 0 und β_{R} : [0, \frac{π}{4}] → ℂ sei definiert durch β_{R}(t) := Re^{it}. Zeige, dass

| ∫_{β_{R}} e^{iz^{2}} dz | ≤ \frac{π}{4R}(1 − e^{−R^{2}}) < \frac{π}{4R} .

(Tip: Benutze die Ungleichung \frac{2}{π} · x ≤ sin x ≤ x, x ∈ [0, \frac{π}{2}].) (ii) Zeige, dass

∫_{0}^{∞} cos(t^{2}) dt = ∫_{0}^{∞} sin(t^{2}) dt = \sqrt{\frac{π}{8}} , [figure: •; 0; •; R; •; R e^{i \frac{π}{4}}; α_{R}; β_{R}; γ_{R}]

Dabei kann das Kurvenintegral ∫_{α} e^{iz^{2}} dz längs der Kurve α := α_{R} ∗ β_{R} ∗ γ_{R} betra-

chtet, und der Cauchysche Integralsatz und die Abschätzung aus (i) benützt werden können.

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Integrale:

(a) ∫_{γ} \frac{sin z}{z + i} dz, γ : [0, 2π] → ℂ, γ(t) := 2e^{it}.

(b) ∫_{γ} \frac{1}{z^{2}(z^{2} + 16)} dz, γ : [0, 2π] → ℂ, γ(t) := 2e^{it}.

(c) ∫_{γ} \frac{2z^{2} − 15z + 30}{z^{3} − 10z^{2} + 32z − 32} dz, γ : [0, 2π] → ℂ, γ(t) := 3e^{it}.

(d) ∫_{γ} (\frac{z}{z − 1})^{n} dz, n ∈ ℕ, γ : [0, 2π] → ℂ, γ(t) := 1 + e^{it}.