SS 13 Marinescu

5. Blatt zur Vorlesung Funktionentheorie Abgabe: 27–28.05.2013 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Seien f : ℂ^{∗} → ℂ, f(z) = \frac{1}{z} und g : ℂ\\{0, 1\} → ℂ, g(z) = \frac{1}{z(z − 1)} · Für a ∈ ℂ^{∗}

(bzw. a ∈ ℂ\{0, 1}) finde die Taylorreihe von f (bzw. g) um a und berechne ihre Konvergenzradius.

(b) Die Funktion z ↦ \frac{1}{1 − z − z^{2}} ist holomorph in 0. Zeige, dass ihre Taylorreihe um 0 die Form

\frac{1}{1 − z − z^{2}} = ∑_{n=0}^{∞} f_{n+1}z^{n}

hat, wobei (f_{n})_{n≥0} die Fibonacci-Zahlen sind: f_{0} = 0, f_{1} = 1, f_{n+1} = f_{n} + f_{n−1}, n ∈ ℕ. Was ist ihre Konvergenzradius?

2. Aufgabe (4 Punkte) Die Funktion f(z) = \frac{z}{e^{z} − 1} ist in 0 holomorph fortsetzbar und ihre Taylorreihe um 0 schreibt man in der Form

\frac{z}{e^{z} − 1} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{B_{n}}{n!} z^{n} ,

wobei die B_{n} Bernoullische Zahlen genannt werden.

(a) Berechne B_{0}, B_{1}, B_{2}, B_{3}. Zeige, dass f(z) + \frac{1}{2}z = \frac{1}{2i}z cot(\frac{1}{2i}z) und f(z) + \frac{1}{2}z eine gerade Funktion ist. Zeige, dass B_{2n+1} = 0, n ∈ ℕ.

(b) Für n, p ∈ ℕ, bezeichne mit S_{n}^{p} = 1^{p} + … + n^{p}. Berechne S_{n}^{1}, S_{n}^{2}, S_{n}^{3}, S_{n}^{4}. Gibt es eine Gesetzmässigkeit bei der Bildung von S_{n}^{p}? Bernoulli hat die folgende Formel erraten

S_{n}^{p} = \frac{n^{p+1}}{p + 1} + \frac{1}{2}n^{p} + \frac{1}{2} ( \begin{matrix}p \\ 1 \end{matrix} ) B_{2}n^{p−1} + \frac{1}{4} ( \begin{matrix}p \\ 3 \end{matrix} ) B_{4}n^{p−3} +

+\frac{1}{6} ( \begin{matrix}p \\ 5 \end{matrix} ) B_{6}n^{p−5} + \frac{1}{8} ( \begin{matrix}p \\ 7 \end{matrix} ) B_{8}n^{p−7} + …

Zeige, dass

∑_{p=0}^{∞} \frac{S_{n}^{p}}{p!} z^{p} = 1 + e^{z} + … + e^{nz} = \frac{z}{e^{z} − 1} · \frac{e^{(n+1)z} − 1}{z}

und beweise die Bernoullische Formel durch Koeffizientenvergleich.

Bitte wenden 3. Aufgabe (4 Punkte) Sei U ⊂ ℂ^{∗} offen und α ∈ ℂ. Eine stetige Abbildung f : U → ℂ heisst Zweig von z^{α} auf U falls ein Zweig ℓ : U → ℂ des Logarithmus existiert und f(z) = e^{αℓ(z)}, z ∈ U.

(a) Zeige, dass f holomorph ist und f′(z) = \frac{α}{z}f(z), z ∈ U.

(b) Sei g : 𝔻 → ℂ, g(z) = e^{α log(1+z)}, wobei log den Hauptzweig des Logarithmus ist (also ist g ein Zweig von (1 + z)^{α}). Zeige, dass

g(z) = (1 + z)^{α} = 1 + ∑_{n=1}^{∞} \frac{α(α − 1) … (α − n + 1)}{n!} z^{n} , für z ∈ 𝔻.

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Sei k ∈ ℕ, k ≥ 2. Wir nennen Hauptzweig der k-ten Wurzel auf ℂ_{−} die Funktion ℂ_{−} ∋ z ↦ \sqrt[k]{z} := exp(\frac{1}{k} log z).

(a) Sei U = ℂ\{x ∈ ℝ : |x| ≥ 1}. Zeige, dass für alle w ∈ U gilt 1 − w^{2} ∈ ℂ_{−} und Re(iw + \sqrt{1 − w^{2}}) > 0, wobei \sqrt{z} den Hauptzweig der Quadratwurzel ist.

(b) Sei f : U → ℂ, f(w) = \frac{1}{i} log(iw + \sqrt{1 − w^{2}}). Zeige, dass sin(f(w)) = w für alle w ∈ U und f(x) = arcsin x, x ∈ [−1, 1]. Daher wird die Funktion f durch arcsin (Arcussinus) bezeichnet. Gebe die Taylorreihe von f um 0 an. Was ist ihre Konvergenzradius?