SS 13 Marinescu

6. Blatt zur Vorlesung Funktionentheorie Abgabe: 3–4.06.2013 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Gibt es jeweils eine in einer geeigneten Nullumgebung holomorphe Funktion f mit f(1/n) = a_{n} für n ∈ ℕ wobei (a_{n})_{n∈ℕ} eine der folgenden Folgen ist?

(a) 0, \frac{1}{2} , 0 , \frac{1}{4} , 0 , \frac{1}{6} , 0 , \frac{1}{8} , 0 , … bzw.

(b) \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , \frac{1}{4} , \frac{1}{4} , \frac{1}{6} , \frac{1}{6} , \frac{1}{8} , \frac{1}{8} , … bzw.

(c) \frac{1}{2} , \frac{2}{3} , \frac{3}{4} , \frac{4}{5} , \frac{5}{6} , \frac{6}{7} , \frac{7}{8} , \frac{8}{9} , …

Gibt es eine holomorphe Funktion f in einer geeigneten Nullumgebung mit f(1/n) = f(−1/n) = 1/n für n ∈ ℕ?

2. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei f : ℂ → ℂ eine nicht konstante ganze Funktion. Zeige, dass das Bild f(ℂ) dicht in ℂ ist.

(b) Sei f : ℂ → ℂ eine ganze Funktion mit der Eigenschaft lim_{|z|→∞} \frac{f(z)}{z} = 0. Man

zeige, dass f konstant ist.

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei P : ℂ → ℂ ein nichtkonstantes Polynom. Dann ist P (ℂ) offen nach dem Satz von der Gebietstreue. Zeige, dass P (ℂ) auch abgeschlossen ist, und folgere P (ℂ) = ℂ. Zeige, dass in dieser Aussage der Fundamentalsatz der Algebra als Spezialfall enthalten ist.

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Sei D ⊂ ℂ ein (nichtleeres) Gebiet und S ⊂ D eine Teilmenge, die keinen Häufungspunkt in D hat. Zeige, dass dann auch D \ S ein Gebiet ist.