SS 13 Marinescu

7. Blatt zur Vorlesung Funktionentheorie Abgabe: 10–11.06.2013 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Zeige, dass der Offenheitssatz das Maximunmprinzip impliziert.

(b) Zeige, dass der Satz über Gebietstreue den Offenheitssatz impliziert.

(c) Bestimme die Automorphismengruppen der oberen Halbebene ℍ = {z : Imz > 0} und der punktierten Kreisscheibe 𝔻\{0}.

2. Aufgabe (4 Punkte) Sei D ⊂ ℂ ein Gebiet, f ∈ O(D).

(a) Sei |f| konstant. Zeige, dass f konstant ist.

(b) Sei \overline{𝔻} ⊂ D und f(z) ∈ ℝ für |z| = 1. Zeige, dass f konstant ist.

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei f ∈ O(𝔻) mit ||f||_{𝔻} = M < ∞ und f(0) = f′(0) = … = f^{(k−1)}(0) für ein k ∈ ℕ.

(a) Zeige, dass die Funktion g : 𝔻\{0} → ℂ, g(z) = z^{−k}f(z) in 0 holomorph fortsetzbar ist und die fortgesetzte Funktion g̃: 𝔻 → ℂ erfüllt ||g̃||_{𝔻} ≤ M.

(b) Zeige, dass |f(z)| ≤ M|z|^{k} für alle z ∈ 𝔻. Was passiert, wenn ein a ∈ 𝔻\{0} existiert mit |f(a)| = M|a|^{k}?

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte)

(a) Sei D ein beschränktes Gebiet in ℂ und h ∈ O(D) ⋂ C(\overline{D}), so dass |h|_{∂D}| konstant ist. Zeige, dass h konstant ist oder dass h eine Nullstelle in D hat.

(b) Sei f ∈ O(𝔻) ∩ C(\overline{𝔻}) nicht-konstant, so dass |f|_{∂𝔻}| konstant ist. Zeige, dass es p ∈ ℕ, a_{1}, …, a_{p} ∈ 𝔻, m_{1}, …, m_{p} ∈ ℕ und g ∈ O(𝔻) gibt mit

f(z) = (z − a_{1})^{m_{1}} … (z − a_{p})^{m_{p}}g(z), z ∈ 𝔻,

wobei g keine Nullstellen in 𝔻 hat.

(c) Sei a ∈ 𝔻. Zeige, dass |φ_{a}(z)| = 1 für |z| = 1.

(d) Sei f eine Funktion wie in (b). Zeige, dass h : \overline{𝔻} \\{a_{1}, …, a_{p}\} → ℂ, h = fφ_{a_{1}}^{−m_{1}} ⋯ φ_{a_{p}}^{−m_{p}} eine Fortsetzung h̃ ∈ O(𝔻) ∩ (\overline{𝔻}) hat, mit |h̃|_{∂𝔻}| konstant. Leite her, dass es C ∈ ℂ gibt, mit

f(z) = Cφ_{a_{1}}^{m_{1}}(z_{1}) ⋯ φ_{a_{p}}^{m_{p}}(z_{p}), z ∈ \overline{𝔻} .