SS 13 Marinescu

8. Blatt zur Vorlesung Funktionentheorie Abgabe: 17–18.06.2013 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte) Bestimme jeweils den Typ der Singularität an der Stelle a für die durch die folgenden Funktionsausdrücke definierten Funktionen:

(a) f(z) := \frac{exp(z) − 1 − z}{z} , a = 0 .

(b) f(z) := \frac{1}{exp(z) − 1} , a = 0 .

(c) f(z) := \frac{sin(πz)}{(z − 1)^{3}} , a = 1 .

(d) f(z) := z cos (\frac{1}{z − 1}) , a = 1.

2. Aufgabe (4 Punkte)

Die holomorphe Funktion f : ℂ \ \{0, 1, 2\} → ℂ, z ↦ f(z) := \frac{1}{z(z − 1)(z − 2)},

entwickle man in den Ringgebilden

K_{0,1}(0) ,  K_{1,2}(0) ,  K_{2,∞}(0)

jeweils in eine Laurent–Reihe. (Notation: K_{r_{1},r_{2}}(a) := { z ∈ ℂ : r_{1} < |z−a| < r_{2} }.)

3. Aufgabe (4 Punkte) Sei r > 0 und D := B_{r}(0) \ {0} und f_{1} : D → ℂ definiert durch z ↦ f_{1}(z) := exp(1/z), f_{2} : D → ℂ definiert durch z ↦ f_{2}(z) := exp(1/z) + exp(−1/z). Zeige (ohne Verwendung des Satzes von Picard):

f_{1}(D) = ℂ \ {0} , f_{2}(D) = ℂ .

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Sei D ⊂ ℂ ein Gebiet, D ≠ ∅, und S ⊂ D eine diskrete Teilmenge, S ≠ ∅, und f : D \ S → ℂ holomorph und injektiv. Zeige:

(a) Kein Punkt s ∈ S ist eine wesentliche Singularität.

(b) Ist s ∈ S ein Pol von f, so ist s ein Pol erster Ordnung.