SS 13 Marinescu

9. Blatt zur Vorlesung Funktionentheorie Abgabe: 24–25.06.2013 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei f ≢ 0 eine meromorphe Funktion auf ℂ̂ und A = N(f) ∪ P (f) die Menge der Null- und Polstellen von f in ℂ̂. Dann gilt

∑_{z∈ℂ̂} ord_{z}f = ∑_{z∈A} ord_{z}f = 0.

(b) Seien z_{1}, …, z_{n} ∈ ℂ̂ paarweise verschieden, und seien m_{1}, …, m_{n} ∈ ℤ so, dass m_{1} + … + m_{n} = 0. Dann gibt es eine meromorphe Funktion f auf ℂ̂ mit

ord_{z}f = \begin{cases}m_{j}, falls z = z_{j} für ein j ∈ \{1, …, n\} , \\ 0, falls z ∉ \{z_{1}, …, z_{n}\} . \end{cases}

2. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Sei S := { −n ; n ∈ ℕ }. Zeige, dass die Reihe

∑_{n≥1} \frac{(−1)^{n−1}}{z + n}

in ℂ \ S zwar lokal gleichmässig, aber nicht normal konvergiert.

(b) Zeige, dass die Reihe von meromorphen Funktionen

∑_{n∈ℤ} \frac{1}{(z − n)^{2}}

lokal gleichmässig auf ℂ konvergiert.

3. Aufgabe (4 Punkte) Für die durch die folgenden Funktionsterme definierten Funktionen bestimme man jeweils in all ihren Singularitäten die Residuen:

(a) \frac{1}{(z^{2} + 1)(z − 1)^{2}}  (b) \frac{exp(z)}{(z − 1)^{2}}  (c) z exp (\frac{1}{1 − z} ) .

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte)

(a) Betrachte die meromorphen Funktionen auf ℂ,

f(z) = ∑_{n∈ℤ} \frac{1}{(z − n)^{2}} , g(z) = (\frac{π}{sin(πz)})^{2} .

Zeige, dass f − g eine holomorphe Fortsetzung h zu ℂ hat.

(b) Zeige, dass h beschränkt auf {z ∈ ℂ : 0 ≤ Re z ≤ 1, | Im z| ≤ 1} ist. Zeige, dass h konstant ist, und dann, dass h ≡ 0 (unter Betrachtung von lim_{y→∞} h(iy)).

(c) Zeige, dass ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} ·