SS 13 Marinescu

10. Blatt zur Vorlesung Funktionentheorie Abgabe: 1–2.07.2013 in den Übungen

1. Aufgabe (4 Punkte)

(a) Berechne die Umlaufzahl in der Komponenten des Komplements der ersten zwei Kurven in der Figur.

(b) Welche von der folgenden Zykeln sind nullhomolog in ℂ^{⋆}, welche Randzykeln?

2. Aufgabe (4 Punkte) Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe des Residuensatzes:

(a) ∫_{|ζ|=5} \frac{exp(ζ)}{cosh(ζ)} dζ , (b) ∫_{α} \frac{2 + 3 sin(πζ)}{ζ(ζ − 1)^{2}} dζ .

Dabei ist α der “Viereckenweg” mit den Eckpunkten 3+3i, −3+3i, −3−3i, 3−3i.

3. Aufgabe (4 Punkte) Zeige:

∫_{0}^{2π} \frac{dt}{5 − 3 cos t} = \frac{π}{2} , ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{(x^{2} + 1)(x^{2} + 4)} = \frac{π}{6} ,

∫_{0}^{∞} \frac{x^{2} dx}{x^{4} + 6x^{2} + 5} = \frac{π}{8} (\sqrt{5} − 1) , ∫_{0}^{∞} \frac{cos x dx}{(x^{2} + 1)^{3}} = \frac{7π}{16e} ·

Bitte wenden.

Zusatzaufgabe (+ 4 Punkte) Sei D ⊂ ℂ offen, f ∈ M(D) und a ∈ D.

(a) Zeige:

(i) Ist a eine Nullstelle von f von ord_{a}(f) = k ⩾ 1 so gilt ord_{a}(f′) = k − 1. (ii) Ist a eine Nullstelle von f′ von ord_{a}(f′) = k ⩾ 0 so gilt ord_{a}(f) = 0 oder ord_{a}(f) = k + 1. (iii) Ist a eine Pollstelle von Ordnung k von f, so ist a eine Pollstelle von Ordnung k + 1 von f′ und in der Laurententwicklung von f′ kommt kein Summand \frac{a_{−1}}{z−a} vor. (iv) Ist a eine Pollstelle von Ordnung k von f′, so gilt k ⩾ 2 und a ist eine Pollstelle von Ordnung k − 1 von f.

(b) Sei a eine Pollstelle von f. Zeige, dass e^{f} eine wesentliche Singularität in a besitzt.