Seminar: Einführung in algebraische Geometrie und torische Varietäten

Einführung in algebraische Geometrie und torische Varietäten

Zeit und Ort:	Freitag 10:00 - 11:30 im Seminarraum 3 im Mathematischen Institut Erster Seminartermin:
Vorkenntnisse:	Lineare Algebra I und II
Literatur:	M. Reid, Undergraduate Commutative Algebra, London Mathematical Society W. Fulton, Introduction to Toric Varieties, Princeton University Press H. Kraft, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie, Vieweg R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer.
Vorbesprechung:	Interessierte melden sich bitte bei Michael Ehrig, Zimmer 219 oder mehrig at math.uni-koeln.de.

In diesem Seminar sollen die Grundlagen der algebraischen Geometrie erarbeitet werden. Dies umfaßt affine und projektive Varietäten, sowie als eine spezielle Klasse in späteren Vorträgen die torischen Varietäten.

Wir wollen beginnen mit dem klassischen Begriff einer affinen Untervarietät über den komplexen Zahlen, also dem Nullstellengebilde eines oder mehrerer Polynome in einer oder mehreren Veränderlichen. Hierfür werden einige Vorarbeiten über die Eigenschaften von Primidealen und Radikalen nötig sein. Eine wichtige Rolle wird der Zusammenhang zwischen Untervarietäten und den Spektren spezieller Algebren spielen und damit Verbunden der Nullstellensatz von Hilbert und die Zariski-Topologie. Um im weiteren Verlauf des Seminars und auch für spätere Veranstaltung Vorarbeit zu leisten, werden wir auch Erweiterungen von Ringen sowie Lokalisierungen von Ringen ansprechen.

Abschluß des Seminars soll dann eine Einführung in eine besondere Klasse von Varietäten sein die sich zwar abstrakt definieren lassen, aber auch sehr gut konstruieren lassen, die sogenannten torischen Varietäten.

Vorträge

Vortrag	Vortragender	Titel	Literatur
1	Christian Desczyk	Primideale und das Spektrum	Reid: 1.1 - 1.9
2	Rebekka Eulering	Radikale und lokale Ringe	Reid: 1.10 - 1.15
3	Matthias Weiss	Noethersche Ringe, Moduln und Hilbert's Basissatz	Reid: 3.1 - 3.6
4	David Fritz	Ring-Erweiterungen und Normalität	Reid: 4.1 - 4.10
5	Christiane Spisla	Affine Varietäten und Nullstellensatz	Reid: 5.1 - 5.8
6	Anja Zell	Zariski-Topologie und ihre Eigenschaften	Reid: 5.9 - 5.14
7	Simone Stumpf	Lokalisierungen und Quotienten	Reid: 6.1 - 6.8
8	Massud Salehi	Morphismen von Varietäten	Kraft: Anhang I 2.1 - 2.8
9	Frederik Marks	Algebraische Gruppen	Kraft: Kapitel II 1.1 - 1.3 und 2.1 - 2.2
10	Oliver Theilenberg	Dimension und projektive Varietäten	Kraft: Anhang I 3.1 - 3.5 und Hartshorne: Kap I.2
11	Bea Schumann	Torische Varietäten: Erste Konstruktion	Fulton: 1.1
12	Angela Arnds	Konvexe Kegel	Fulton: 1.2
13	Deniz Kus	Affine torische Varietäten	Fulton: 1.3
14	Dustin Radermacher	Torische Varietäten: Fächer und Polytope	Fulton: 1.4 - 1.5
15	frei	Torische Varietäten: Eigenschaften	Fulton: 2.1 - 2.2

Vorlagen

Reid: Undergraduate Commutative Algebra

Einleitung	Kapitel 0	Kapitel 1	Kapitel 2
Kapitel 3	Kapitel 4	Kapitel 5	Kapitel 6

Kraft: Geometrische Methoden in der Invariantentheorie

Seiten 52 - 59

Seiten 64 - 65

Seiten 238 - 253

Hartshorne: Algebraic Geometry

Kapitel 1.1 - 1.2

Fulton: Introduction to Toric Varieties

Fulton Kapitel 1 - 2