Seminar Quadratische Formen
Sommersemester 2021

Allgemeine Informationen

Beschreibung

In diesem Seminar sollen die Teilnehmer einige Grundlagen über die algebraische und arithmetische Theorie der quadratischen Formen erarbeiten. Für die algebraischen Grundlagen werden wir vorwiegend dem Buch von Kneser [Kn] folgen, für die arithmetischen den Büchern von Cassels [Ca] und Watson [Wa].

Vergabe der Themen und Anmeldung erfolgt per E-Mail an die oben angegebene Adresse.

Vortragsthemen

1. Symmetrische Bilinearformen (15.04.2021)
   Zur Einführung soll das Konzept der Bilinearformen über beliebigen Ringen eingeführt werden. In Ringen der Charakteristik ungleich 2 stehen, wie im folgenden Vortrag gezeigt werden soll, Bilinearformen und quadratische Formen in 1:1-Korrespondenz. In diesem Vortrag sollen v.a. einige grundlegende Definitionen und Konzepte wie etwa die Gram-Matrix eingeführt werden.
   Relevante Literatur: [Kn], § 1 (S. 1-6)
   
2. Quadratische Formen (22.04.2021)
   Es soll gezeigt werden, dass, wie bereits oben erwähnt, Bilinearformen und quadratische Formen eng miteinander verwandte Objekte sind und die entsprechenden Begriffe aus dem ersten Vortrag sollen hier übertragen werden.
   Relevante Literatur: [Kn], § 2 (S. 7-11)
   
3. Die orthogonale Gruppe und der Satz von Witt (29.04.2021)
   Der dritte Vortrag beinhaltet eines der Schlüsselresultate zur algebraischen Theorie der quadratischen Formen, den Kürzungssatz von Witt. Dieser soll im Vortrag für Körper der der Charakteristik ≠ 2 bewiesen werden und dann auf lokale Ringe erweitert werden. Ggf. kann der Fall der Charakteristik 2 bzw der der lokalen Ringe etwas knapper behandelt werden.
   Relevante Literatur: [Kn], § 3 - §4, Folgerung (4.4) (S. 11-16)
4. p-adische Zahlen (06.05.2021)
   So wie die reellen Zahlen als Vervollständigung der rationalen Zahlen bezüglich des gewöhnlichen Absolutbetrages eingeführt werden können, kann man auch Vervollständigungen zu den so genannten p-adischen Absolutbeträgen betrachten, die im Wesentlichen messen, wie oft eine rationale Zahl eine gegebene Primzahl p in Zähler oder Nenner enthält. Dies sind die p-adischen Zahlen, die in der arithmetischen Theorie der quadratischen Formen über den rationalen Zahlen eine entscheidende Rolle spielen. Im Vortrag soll eine kurze Einführung in die wichtigsten Eigenschaften dieser Zahlen gegeben werden. Insbesondere wichtig ist für den folgenden Vortrag die Beschreibung der Einheitengruppe der p-adischen Zahlen modulo Quadraten (S. 40).
   Relevante Literatur: [Ca], Abschnitt 3.1 (S. 34-41)
5. Das Norm-Restsymbol und Approximationssätze (20.05.2021)
   Dieser Vortrag hat zwei Teile. Im ersten soll das Hilbertsche Norm-Restsymbol eingeführt werden, in gewisser Weise eine Erweiterung des aus der Zahlentheorie bekannten quadratischen Rest- oder Legendre-Symbols. Dieses soll vollständig berechnet werden.
   Im zweiten Teil soll mit einigen Approximationssätzen eine Verbindung zwischen den p-adischen Zahlen (lokal) und den rationalen Zahlen (global) hergestellt werden. Relevante Literatur: [Ca], Abschnitte 3.2-3.3 (S. 41-47)
6. Quadratische Formen über lokalen Körpern (10.06.2021)
   In diesem Vortrag soll die Hasse-Minkowski-Invariante einer diagonalen quadratischen Form über einem p-adischen Körper eingeführt werden und gezeigt werden, dass diese zusammen mit der Anzahl der Variablen und der Determinante die Ähnlichkeitsklasse einer quadratischen Form über den p-adischen Zahlen festlegt. Ggf. müssen die Details der Beweise im Vortrag etwas gestrafft werden um in der Zeit zu bleiben.
   Relevante Literatur: [Ca], Abschnitte 4.1-4.2 (S. 55-63)
7. Geometrie der Zahlen (17.06.2021)
   Das Konzept der Geometrie der Zahlen geht auf Minkowski zurück und taucht immer wieder v.a. im Bereich der algebraischen Zahlentheorie auf. In diesem Vortrag sollen einige Resultate aus diesem Bereich bewiesen werden, die im folgenden Vortrag für den Beweis des Satzes von Hasse-Minkowski benötigt werden.
   Relevante Literatur: [Ca], Abschnitte 5.1-5.2 (S. 67-72)
8. Der Satz von Hasse-Minkowski I (24.06.2021)
   Ohne Zweifel einer der wichtigsten Sätze in der Theorie der quadratischen Formen über den rationalen Zahlen ist der so genannte Lokal-Global-Prinzip von Hasse und Minkowski. Dieser Satz hilft dabei, eine der zentralen Fragen über quadratische Formen über ℚ zu beantworten, nämlich ob eine gegebene rationale Zahl von einer gegebenen Form dargestellt wird. Laut dem Satz von Hasse-Minkowski ist dies genau dann der Fall, wenn es über den reellen und allen p-adischen Zahlen der Fall ist. Dies ist insofern hilfreich, als dass man über diesen vollständigen Körpern diese Frage meist leichter entscheiden kann. In diesem Vortrag soll der Satz von Hasse-Minkowski nebst einigen Folgerungen wie dem Satz von Meyer formuliert werden und für quadratischen Formen in einer und zwei Variablen bewiesen werden. Zudem sollen die ersten vorbereitenden Schritte f&ur den Beweis des Satzes in drei Variablen vorgenommen werden.
   Relevante Literatur: [Ca], Abschnitte 6.1-6.4, Lemma 4.3, (S. 75-79)
9. Der Satz von Hasse-Minkowski II (01.07.2021)
   In diesem Vortrag soll der Beweis des Satzes von Hasse-Minkowski für quadratische Formen in drei, vier und mehr Variablen vervollständigt werden. Wiederholen Sie hierzu einige der relevanten Resultate aus den vorangegangenen Vorträgen. Der Beweis des Satzes von Hasse-Minkowski in vier und mehr Variablen basiert auf einem wichtigen und bekannten Resultat der analytischen Zahlentheorie, dem Dirichletschen Primzahlsatz. Dieser Satz besagt, dass es für teilerfremde ganze Zahlen a und q stets unendlich viele Primzahlen der Form a+qn gibt. Diesen Satz nehmen wir hier als gegeben an.
   Relevante Literatur: [Ca], Abschnitte 6.4, ab Theorem 4.1, - 6.7 (S. 80-86)
10. Quadratische Formen über den ganzen Zahlen (08.07.2021 und 15.07.2021)
    In gewisser Weise hat man mit dem Satz von Hasse-Minkowski das Problem der Darstellbarkeit rationaler Zahlen durch quadratische Formen unter Kontrolle. Oft ist man jedoch speziell an ganzzahligen Darstellungen einer ganzen Zahl interessiert. Die offensichtliche Uuml;bertragung des Lokal-Global-Prinzips auf diese Situation ist allerdings im Allgemeinen nicht richtig, wie sich herausstellt. Dies führt auf den Begriff des Geschlechts einer ganzzahligen quadratischen Form. In diesem Vortrag soll ein Überblick über die nötigen neuen Konzepte gegeben werden, will man ganzzahlige quadratische Formen betrachen. In diesem Vortrag soll bewusst darauf verzichtet werden, zu sehr ins Detail zu gehen, sondern stattdessen das Material sinnvoll zusammenzufassen und in den Kontext mit den vorigen Vorträgen zu setzen.
    Relevante Literatur: [Wa], Kapitel 5 (S. 68-83), ggf. auch [Ca], Kapitel 9 (S. 127-161)
11. Clifford Algebren (22.07.2021)
    Ein wesentliches Hilfsmittel in der algebraischen Theorie der quadratischen Formen sind sogenannte Clifford-Algebren. Hierbei handelt es sich um eine (i.A.) nicht kommutative Algebra, die einen gegebenen quadratischen Modul umfasst, so dass Anwendung der quadratischen Form dem Quadrieren in der Algebra entspricht. In diesem Vortrag sollen erste elementare Eigenschaften dieser Konstruktion erklärt werden, sowie die Quaternionen und Oktonionen als Beispiele für Clifford-Algebren eingeführt werden.
    Relevante Literatur: [Kn], Abschnitte 5 und 6, (S. 21 - 31)

Literatur

[Ca] J. W. S. Cassels, Rational Quadratic Forms, Dover Publications, 2008 (Reproduktion von Academic Press, 1968).

[Kn] M. Kneser, Quadratische Formen, Springer-Verlag, 2002.

[Wa] G. L Watson, Integral Quadratic Forms, University Press, Cambridge, 1970.