Vorlesung Elementare Differentialgeometrie - Inhaltsverzeichnis

• Vorlesung 01 (08.10.2018): Skript Seiten 5-9: euklidisches Skalarprodukt,
  Cauchy-Schwarz Ungleichung, Norm, Abstand, Winkel, Orthonormalbasis.
• Vorlesung 02 (10.10.2018): Skript Seiten 10-18: O(n) und SO(n), Drehung und Spiegelung,
  Isometrie, Schnittwinkel von Kurven, isometrische Teilmengen des R^n, Kosinussatz, Sinussatz,
  Winkelsumme im euklidischen Dreieck.
• Vorlesung 03 (15.10.2018): Seiten 27-32: Komplexe Zahlen C, Skalarprodukt auf C,
  Matrixdarstellung der komplexen Multiplikation, Quaternionen und ihren Eigenschaften,
  Links- und Rechtsmultiplikation Abbildungen, Vektorkreuzprodukt im R^3 und seine Eigenschaften.
• Vorlesung 04 (17.10.2018): Seiten 33-39. Beschreibung von SO(3) und SO(4) mit Hilfe von
  Quaternionen, reguläre Kurven, Parametertransformation, Umparametrisierung, nach Bogenlänge
  parametrisierte Kurven, die Länge einer Kurve (Definitionen durch Integral und Supremum).
• Vorlesung 05 (22.10.2018): Seiten 40-48: Traktrix, Kettenlinie, logarithmische Spirale,
  Zykloide, Frenet-Zweibein, Krümmung einer regulären Kurve, die Lage einer Kurve bezüglich ihrer Tangante,
  Schmiegekreis, Evolute, Frenetsche Ableitungsgleichungen.
• Vorlesung 06 (24.10.2018): Seiten 48-53: Anfangswertproblem, Hauptsatz der ebenen Kurventheorie,
  Klothoide und Straßenbau, Drehwinkelfunktionen, geschlossene Kurven, Tangentendrehzahl,
  einfach geschlossene Kurven, Hopfscher Umlaufsatz (ohne Beweis), stetige Drehwinkelfunktionen.
• Vorlesung 07 (29.10.2018): fällt aus!
• Vorlesung 08 (31.10.2018): Seiten 53-59: Stetige Drehwinkelfunktionen, sternförmige Teilmengen,
  Liftungslemma für sternförmige Teilmengen, Beweis des Hopfschen Umlaufsatzes, Definition konvexer Kurven.
• Vorlesung 09 (05.11.2018, Dr. Nepechiy): Seiten 67-73: Raumkurven, ihre Krümmung, Normalenvektor und Binormalenvektor,
  Frenet-Dreibein, Torsion, Frenetsche Ableitungsgleichungen, Hauptsatz der Raumkurventheorie, Totalkrümmung,
  Satz von Fenchel.
• Vorlesung 10 (07.11.2018): Seiten 59-61, 67: konvexe ebene Kurven und ihre Krümmung,
  Vierscheitelsatz (ohne Beweis), Isoperimetrische Ungleichung (mit Skizze von Steiners 1842 Beweis).
• Vorlesung 11 (12.11.2018): Seiten 72-79: Beweis des Satzes von Fenchel, Knoten, Satz von Fary-Milnor,
  Immersionen, parametrisiertes Flächenstück, eigebettetes Flächenstück, Tangentialraum, Gaußabbildung.
  
• Vorlesung 12 (14.11.2018): Seiten 80-83: Umkehrsatz, Immersionen sind lokal Einbettungen, Parametertransformation,
  reguläre Fläche und ihre Tangentialräume, Möbiusband, Satz von der impliziten Funktion, Niveaufläche,
  Zylinder, Sphäre, Ellipsoid, Gaußabbildung einer Niveaufläche.
• Vorlesung 13 (19.11.2018): Seiten 84, 89-94: Quadriken und Kegelschnitte, erste Fundamentalform, Sphärische Polarkoordinaten,
  Länge von Kurven auf einer Fläche, Flächeninhalt von parametrisierten Flächenstücken.
• Vorlesung 14 (21.11.2018): Seiten 95-100: Rotationsflächen, Weingartenabbildung, zweite Fundamentalform.
• Vorlesung 15 (26.11.2018): Seiten 100-106: Hauptkrümmungen, Gaußkrümmung, mittlere Krümmung, Normalenschnitte,
  Lemma (Meusnier), Proposition (Euler), Rotationsflächen, Rotationstorus.
• Vorlesung 16 (28.11.2018): Seiten 106-111: Lage einer Fläche relativ zur affinen Tangentialebene, Kompakte Flächen
  besitzen Punkten mit positiver Gaußkrümmung, Regelflächen und doppelte Regelflächen.
• Vorlesung 17 (03.12.2018): Seiten 110, 111, 116 (Skript), Seiten 164-167, 170, 171 (Buch von C. Bär): Regelflächen
  und doppelte Regelflächen, Hyperboloid, Helikoid, Hyperbolische Paraboloid, affine Abbildungen, doppelte Regelflächen
  sind affine Bilder des Hyperboloids oder Paraboloids, dreifache Regelflächen sind Ebenen, Innere Geometrie von
  Flächen, lokale Isometrie, Isometrie, Vektorfeld längs eine Kurve an einer Fläche, Kovariante Ableitung.
• Vorlesung 18 (05.12.2018): Seite 172 (Buch von C. Bär), Seiten 116-119 (Skript): Eigenschaften der kovariante Ableitung,
  Christoffelsymbole, Christoffelsymbole hä ngen nur von der ersten Fundamentalform ab (Formel), Theorema Egregium von Gauß.
• Vorlesung 19 (10.12.2018): Seiten 121-122: Geodätischen, Erste Variationsformel,
  Kürzeste Verbindungskurven sind geodätisch.
• Vorlesung 20 (12.12.2018): Seiten 122-124: Differentialgleichung von Geodätischen, Existenz und Eindeutigkeit
  von Geodätischen, Geodätischen auf Rotationsflächen, Clairautsche Gesetz.
• Vorlesung 21 (17.12.2018): Seiten 124-127: Qualitativ Verhalten der Geodätischen auf Rotationsflächen: Anwendungen des
  Clairautsche Gesetzes.
• Vorlesung 22 (19.12.2018): Seiten 127-132: Exponentialabbildung, Gauß-Lemma, Geodätischen sind lokal kürzeste.
• Vorlesung 23 (07.01.2019): Seiten 133-136: Sphärische Trigonometrie (Sinussatz und Kosinussatz), Beweis des Satz von
  Gauß-Bonnet für die Sphäre, lokaler Satz von Gauß-Bonnet für allgemeine Flächen.
• Vorlesung 24 (09.01.2019): Seiten 136-137: Geodätische Triangulierung, Euler Charakteristik, Platonischer Körper, globaler
  Satz von Gauß-Bonnet, Beweis von dem globalen Satz von Gauß-Bonnet für Rotationsflächen.
• Vorlesung 25 (14.01.2019): Seiten 139-146: Verbundene Summe und Klassifikation von geschlossenen Flächen, Minimalflächen,
  die Scherksche Minimalfläche, Normale Variationen, Erste Variationsformel für Flächeninhalt.
• Vorlesung 26 (16.01.2019): Seiten 137-139: Riemannsches Gebiet, Hyperbolische Ebene und ihre Geodätischen.
• Vorlesung 27 (21.01.2019): Isometrien der hyperbolische Ebene. Wiederholung: euklidische Geometrie.
• Vorlesung 28 (23.01.2019): Wiederholung: Kurven.
• Vorlesung 29 (28.01.2019): Wiederholung: Flächen.
• Vorlesung 30 (30.01.2019): Wiederholung: Flächen.