Seminar zur Morse-Theorie

Prof. Uwe Semmelmann, Dr. Bogdan Alexandrov

Mi., 16-18,

Vorbesprechung: Mi. 17.10.07

Sei f:M->R; eine glatte Funktion auf einer kompakten Mannigfaltigkeit M. Die Morse-Theorie studiert die Beziehung zwischen kritischen Punkten von f und der Topologie von M. Wir erhalten eine anschauliche Methode, wie wir komplizierte Mannigfaltgkeiten in einfache Teilstücke zerschneiden können, oder anders ausgedrückt, wir erhalten eine Methode, mit der wir durch Aneinanderkleben von Kreisscheiben beliebige Mannigfaltigkeiten erhalten können.
Die Morse-Theorie hat wichtige Anwendungen in der Differentialgeometrie und Topologie, zum Beispiel die höher-dimensionale Poincare-Vermutung; Bott-Periodizität für klassische Gruppen; Existenzsätze für geschlossene Geodäten; Topologie von Stein-Mannigfaltigkeiten.
Die grundlegenden Sätze der Morse-Theorie (Kapitel 1-7 in Milnors Buch) werden in den ersten Vorträgen erarbeitet. Die weiteren Vorträge sind Anwendungen gewidmet.
Vorkenntnisse: Analysis I-III, Lineare Algebra I. Differentialgeometrie I wird im Laufe des Seminars gebraucht werden. Das Seminar ist als Ergänzung zur Vorlesung Differentialgeometrie I gedacht.

Scheinkriterien

Regelmäßige Seminarteilnahme und mindestens einmal vortragen.

Vortragsplan

1. Vortrag 24.10.07	Hella Timmermann Definitions, Morse Lemma (Quelle: [Mi1] Kapitel I, S. 4--13)

2. Vortrag	Leonid Torgoritsch Homotopy Type in Terms of Critical Values (Quelle: [Mi1] Kapitel I, S. 14--24)

3.Vortrag	Matthias Krebs Examples, Morse inequalities (Quelle: [Mi1], Kapitel I, S. 25-31

4.Vortrag	Milana Medova, Oxana Kochegura (?) Existence of Morse functions (Quelle: [Mi1], Kapitel I, S. 32-38 )

5.Vortrag	Annabelle Hartmann Lefschetz Theorem (Quelle: [Mi1], Kapitel I, S. 39-42)

6.Vortrag	Review of Riemannian Geometry, Geodesics and Completeness (Quelle: [Mi1], Kapitel II, S. 43--66)

7.Vortrag	Path Space of a Manifold, Energy, Hessian of the Energy Functional (Quelle: [Mi1], Kapitel III, S. 67 -- 82 )

8.Vortrag	Morse Index Theorem, Topology of Path Spaces (Quelle: [Mi1], Kapitel III, S. 83--97 )

9. Vortrag	Sebastian Schmittner Topology und Curvature (Quelle: [Mi1], Kapitel III, S. 98 -- 108)

10. Vortrag	Matthias Meng Symmetric Spaces and Lie Groups (Quelle: [Mi1], Kapitel IV, S. 109 -- 123)

11. Vortrag	Max Dörner The Bott Periodicity Theorem for the Unitary Group (Quelle: [Mi1], Kapitel IV, S. 124-- 132 )

12. Vortrag	The Bott Periodicity Theorem for the Orthogonal Group (Quelle: [Mi1], Kapitel IV, S. 133-- 146 )

Literatur:

[Mi1]

J. Milnor Morse Theory
Princeton University Press (1963)

Ergänzende Literatur:

[Mat]

Y. Matsumoto, An Introduction to Morse Theory, AMS, Translations of mathematical Monographs, vol. 208