Seminar zur
Elementaren Geometrie
Sommersemester 2024
Dr. Stephan Wiesendorf
Termine:
Das Seminar findet montags, 10-11.30 Uhr, im Seminarraum 2 des Mathematischen Instituts statt.
Teilnahmekriterien & Anmeldung:
Das Seminar richtet sich primär an Lehramtsstudierende, kann aber auch von Studierenden der mathematischen Bachelorstudiengänge belegt werden.
Die Anmeldung erfolgt entsprechend den vereinbarten Regelungen zur Seminarplatzvergabe (vgl. http://www.mi.uni-koeln.de/main/Studierende/Lehre-Studium/Vorlesungsverzeichnis/Seminarplatzvergabe/index.php) im Zeitraum 26.01.-31.01.24 per E-Mail an wiesends@uni-koeln.de.
Geben Sie bei der Anmeldung bitte an, ob Sie über inhaltliche Vorkenntnisse verfügen und nennen Sie zudem bitte mindestens drei der unten aufgeführten Vortragsthemen, über die Sie gerne vortragen würden.
Ablauf:
- Ausarbeitung zu Grundlagen & Literaturrecherche: Um die notwendigen Vorkenntnisse sicherzustellen, sollen alle TeilnehmerInnen vor Beginn der Vorträge eine kurze Ausarbeitung zu den metrischen Grundlagen anfertigen.
Diese Ausarbeitung sollte die wichtigsten Begriffe des ersten Kapitels von "Euclidean and hyperbolic planes" (s.u.) beinhalten und bis zum Beginn des Seminars fertiggestellt und abgegeben werden. Die Ausarbeitung fließt in die Gesamtnote mit ein.
- Vortrag: Alle TeilnehmerInnen halten jeweils einen auf 45-60 Minuten angesetzten Vortrag. Präsentationen zu zweit sind (je nach Nachfrage) gegebenfalls auf Wunsch möglich. Es ist vorgesehen, dass die Vortragenden im Anschluss an den Vortrag eine grundlegende Aufgabe zu ihrem Thema stellen, welche dann von den anderen SeminarteilnehmerInnen bearbeitet wird. Aktive Teilnahme an den Aufgaben wird erwartet.
Vor dem Vortrag ist die Bereitstellung einer schriftliche Ausarbeitung (vorzugsweise in LaTeX) erforderlich. Hierzu sollte im Vorfeld des Vortrags eine individuelle Besprechung mit dem Dozenten stattgefunden haben.
Inhalt:
Hauptgegenstand des Seminars ist die Euklidische Geometrie, die in der Schule in dieser Form kaum noch behandelt wird. Wir werden einen axiomatischen Zugang wählen, d.h. wir beschreiben die Euklidische Ebene als einen metrischen Raum mit bestimmten Eigenschaften, und untersuchen die Geometrie der Ebene als Konsequenzen dieser Eigenschaften.
In erster Linie wird es um einfache Objekte wie Punkte, Kreise, Geraden, Dreiecke und ihre gegenseitige Lage gehen. Weitere Themen, wie die Geometrie der Sphäre und des projektiven Raums, sind unter Umständen ebenfalls möglich.
Mögliche Vortragsthemen (chronologisch):
- Axiome der Eukidischen Geometrie: Axiome, (Halb-)Geraden, Spezielle Winkel.
- Halbebenen: Vorzeichen von Winkeln, Zwischenwertsatz, Halbebenen, Dreiecke mit vorgegebenen Seitenlängen.
- Kongruente Dreiecke: Kongruenzbedingungen, Gleichschenklige Dreiecke.
- Orthogonale Geraden: Rechte/Spitze/Stumpfe Winkel, Eindeutigkeit orthogonaler Geraden, Spiegelung an einer Geraden, Kürzeste Verbindungen, Kreise, Geometrische Konstruktionen.
- Ähnliche Dreiecke: Ähnliche Dreiecke, Satz des Pythagoras, Ptolemäische Ungleichung.
- Parallele Geraden: Parallelität, Punktspiegelung, Transversalität, Winkel von Dreiecken, Parallelogramme, Einführung von Koordinaten.
- Dreiecksgeometrie: Mittelsenkrechte & Umkreismittelpunkt, Höhen & Orthozentrum, Seitenhalbierende & Schwerpunkt, Winkelhalbierende & Inkreismittelpunkt.
- Flächeninhalt: Definition und Eigenschaften des Flächeninhaltes, Flächeninhalte von Rechtecken, Parallelogrammen und Dreiecken.
- Geometrische Konstruktionen: Klassische Problemstellungen, Konstruktionen mit Zirkel, Lineal und Geodreieck, Vergleich von Konstruktionsmethoden.
- Absolute Ebene: Summe von zwei bzw. drei Winkeln im Dreieck, Defekt, Krümmung.
- Hyperbolische Ebene: Konformes Scheibenmodell, Axiome der Hyperbolischen Ebene, Hyperbolische Trigonometrie.
- Geometrie des Scheibenmodells: Inkreisradius im Dreieck, Kreise & Horokreise, Hyperbolische Dreiecke, Konformitätsfaktor, Hyperbolische Version des Satzes des Pythagoras.
- Projektives Modell der Hyperbolischen Ebene: Definition und Eigenschaften des Projektiven Modells, Konstruktion von Bolyai.
Die endgültige Auswahl und Vergabe der Themen ist abhängig von der Anzahl der BewerberInnen. Bei der Vergabe der Seminarplätze und der Vortragsthemen werden die Reihenfolge der Anmeldungen sowie die jeweiligen Vorkenntnisse und Vortragswünsche berücksichtigt.
Literatur:
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