Seminar
Fundamentalgruppe und Überlagerungen
Wintersemester 2020/21
Dr. Stephan Wiesendorf

Termine:

Das Seminar findet im Dezember des Wintersemesters 2020/21 nach Vereinbarung als Blockseminar statt. Sofern ein einheitliches Interesse vorliegt, besteht die Möglichkeit, ein Wochenende in einem Selbstversorgerhaus zu verbringen und die Seminarvorträge vor Ort abzuhalten. Für Unterkunft und Verpflegung würden voraussichtlich Kosten zwischen 50-70 € pro Person anfallen. Andernfalls wird das Seminar als Blockseminar in den Räumen der Universität zu Köln stattfinden.

Teilnahmekriterien & Anmeldung:

Das Seminar richtet sich primär an Studierende im Bachelorstudium ab dem 3. Fachsemester. Vorkenntnisse im Bereich der Topologie sind nicht erforderlich, allerdings werden algebraische Grundlagen im Zusammenhang mit Gruppenstrukturen vorausgesetzt. Die Anmeldung erfolgt per E-Mail an swiesend@math.uni-koeln.de entsprechend der vereinbarten Regelungen zur Seminarplatzvergabe (vgl. http://www.mi.uni-koeln.de/main/Studierende/Lehre- Studium/Vorlesungsverzeichnis/Seminarplatzvergabe/index.php). Geben Sie bei der Anmeldung bitte an, ob Sie über inhaltliche Vorkenntnisse verfügen und ob Sie Interesse an einer Fahrt unter den oben genannten Bedingungen hätten. Nennen Sie zudem bitte mindestens drei der unten aufgeführten Vortragsthemen, über die Sie gerne vortragen würden.

Ablauf:


Inhalt:

Ziel des Seminares ist es, gemeinsam das Buch "Fundamental Groups and Covering Spaces" von Elon Lages Lima zu erarbeiten. Die Fundamentalgruppe geht konzeptuell zurück auf Henri Poincaré und ist eine topologische Invariante, d.h. homöomorphe Räume, bzw. allgemeiner sogar homotopieäquivalente Räume, haben isomorphe Fundamentalgruppen. Dieses Thema kann daher als grundlegender Einstieg in den Bereich der Algebraischen Topologie gesehen werden. Die Grundidee der Methoden der Algebraischen Toplogie war es ursprünglich, topologischen Räumen algebraische Objekte zuzuordnen, anhand derer man entscheiden können sollte, ob Räume homöomorph sind. Wie sich herausstellte, sind diese Objekte größtenteils allerdings Invarianten des Homotopietyps und somit allgemeinerer Natur. Dennoch kann man aus der Tatsache, dass Objekte wie z.B. Fundamental- oder Homologie- bzw. Kohomologiegruppen nicht isomorph sind, folgern, dass die zugrundeliegenden Räume insbesondere nicht homöomorph sein können.
Die Fundamentalgruppe eines toplogischen Raumes X im Punkt x₀, π₁(X,x₀), ist die Menge aller Homotopieklassen [c] von Wegen c: [0,1] → X mit c(0)=c(1) =x₀ und der Zusammensetzung von Wegen als Verknüpfung. Für hinreichend schöne Räume entsprechen die Untergruppen von π₁(X,x₀) in eindeutiger Weise den sogenannten Überlagerungen von X, d.h. Abbildungen p: Y → X, so dass Y lokal homöomorph zu X (via p) ist und Umgebungen von Punkten in X gleichmäßig von Umgebungen der Urbilder in Y überdeckt werden. Ist nämlich c eine geschlossene Kurve in Y mit c(0)=c(1) = y₀, so ist die Bildkurve p○c ein geschlossener Weg in X mit p○c(0)=p○c(1)=p(y₀)= x₀. Die so induzierte Abbildung p#: π₁(Y,y₀) → π₁(X,x₀), [c] ↦ [p ○ c], ist für Überlagerungen injektiv, so dass π₁(Y,y₀) mit der Untergruppe p#π₁(Y,y₀) ⊂ π₁(X,x₀) indentifiziert werden kann. Die Theorie der Überlagerungen ist strukturell der Galoistheorie von Körpererweiterungen sehr ähnlich. Die Abbildung (Y,y₀) ↦ p#π₁(Y,y₀) ⊂ π₁(X,p(y₀)) nennt man daher auch Galois-Korrespondenz. Die Galoisgruppe entspricht in dieser Analogie (für hinreichend schöne Räume) dann gerade der Fundamentalgruppe π₁(X,x₀). Überlagerungen spielen in der Geometrie und Topologie eine wichtige Rolle.

Mögliche Vortragsthemen (chronologisch):
  1. Homotopie I-II: Homotope Abbildungen, Vektorfelder auf Sphären, Homotopietyp, Zusammenziehbare Räume; Homotopie & Erweiterungen, Euklidischer Umgebungsretrakt (ENR), Relative Homotopie.
  2. Fundamentalgruppe I-II: Homotopie von Wegen, Zusammensetzung & Zerlegung von Wegen, Fundamentalgruppe & induzierter Homomorphismus; Alternative Darstellung der Fundamentalgruppe, Räume mit abelscher Fundamentalgruppe, Einfach zusammenhängende Räume, Satz von Seifert & van Kampen.
  3. Beispiele & Anwendungen I-IV: Fundamentalgruppe des Kreises; Fundamentalgruppe der Reell- und Komplex-Projektiven Räume; Fundamentalgruppe von SO(n); Fundamentalgruppe von SU(n) & Sp(n).
  4. Umlaufzahl I-II: Eigenschaften der Umlaufzahl, Satz von Graustein-Whitney; Umlaufzahl als Integral (reell und komplex).
  5. Überlagerungen I-III: Lokale Homöomorphismen und Hochhebungen (Lifts), Überlagerungen von topologischen Räumen; Eigentliche Abbildungen, Eigentlich diskontinuierliche Gruppen; Hochhebungen (Lifts) von Wegen und Homotopien, Differenzierbare Überlagerungen.
  6. Überlagerungen & Fundamentalgruppe I-IV: Konjugationsklasse einer Überlagerung, Kriterien für die Existenz von Hochhebungen (Lifts); Homomorphismen zwischen Überlagerungen; Decktransformationen, Reguläre (bzw. Normale) Überlagerungen, Existenz von Überlagerungen; Fundamentalgruppe einer kompakten Fläche.
  7. Orientierungsüberlagerung I-II: Orientierung von Vektorräumen, Orientierbare Mannigfaltigkeiten; Eigentlich diskontinuierliche Gruppen von Diffeomorphismen, Orientierungsüberlagerung.
Die endgültige Auswahl und Vergabe der Themen ist abhängig von der Anzahl der BewerberInnen. Bei der Vergabe der Seminarplätze und der Vortragsthemen werden die Reihenfolge der Anmeldungen sowie die jeweiligen Vorkenntnisse und Vortragswünsche berücksichtigt.

Vorbesprechung:

Die Vorbesprechung findet am 09. Juli 2020,um 10 Uhr via Zoom statt. Hierfür ist eine Anmeldung bis zum 08. Juli erforderlich, damit Sie am Tag der Vorbesprechung vorab die Einladung zur Besprechung per Mail erhalten können. Link zur Vorbesprechung: https://uni-koeln.zoom.us/j/92850231939?pwd=NldqL3lzYzNGNFVnWHZ0ZVNQMWhGdz09, Meeting-ID: 928 5023 1939, Passwort: 489828

Literatur:


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