Dozent: Prof. Dr. Duc Viet Vu (Raum 108).

Zuständiger Assistent: Nicholas Lindsay (Raum 005a).

Erforderliche Vorkenntnisse: Analysis I-II und Lineare Algebra I-II.

Vorlesung: Di. 14-15:30 Uhr, Mi. 10-11:30 Uhr im Hörsaal Mathematik (Raum 203).

Beginn der Vorlesung: 04.04.2022, End der Vorlesung: 15.07.2022 (siehe Termine SS 2022 UzK).

Übungen: Der Übungbetrieb findet ab 11.04.2022 statt (es gibt keine Übungen in der ersten Woche der Vorlesung). Es gibt zweit Übungstermine:

1. Mittwoch 12-13.30 Uhr Übungsraum 2 (Gyrhofstr.)

2. Mittwoch 14-15.30 Uhr Übungsraum 1.

In der ersten Woche können Sie auf Ilias Ihren passenden Termin wählen. Wöchentlich werden Übungblätter auf Ilias hochgeladen. Pro Blatt wird eine Aufgabe korrigiert und bewertet. Alle andere Informationen über der Übungen finden Sie auf Ilias.

Zulassung zu der Klausur: mindestens 50% aller Punkte am Ende des Semesters.

Prüfungen: Klausur am Mo. 25.07.2022, 08:00-11:00, im Hörsaal DG Mathe, und Nachklausur am Fr. 16.09.2022, 08:00-11:00, im Hörsaal DG Mathe.

Inhalt der Vorlesung:

1. Topologische Räume: Metrische Räume, Topologische Räume, Stetige Abbildungen, Kompakte topologische Räume.

2. Quotientenräume: Äquivalentzrelationen, Quotiententopologie, Flächen von höherem Geschlecht, (Unter-)Mannigfaltigkeiten.

3. Fundamentalgruppen: Homotopieklassen von Wegen, Homotope Abbildungen.

4. Überlagerungen: Hochheben von Wegen, Hochheben von Homotopien, Überlagerungen und Fundamentalgruppen, Homotopieäquivalente Räume.

5. Berechnung der Fundementalgruppen: Der Satz von Seifert-van Kampen.

Weitere ausgewählte Kapitel der Topologie.

Literatur:

- Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.

- Jänich: Topologie, Springer Verlag, 2005.

- Massey: A basic course in algebraic topology, Springer Verlag.

- Friedl: Skript Topologie.

Vorlesungsverzeichnis

Wochen 1-3: Metrische Raueme, Topologie, Stetigkeit, Basis der Topologie, Produkttopologie, Teilraumtopologie, Kompaktheit.

Woche 4: Aequivalenzrelation, Quotiententopologie, Beispiel von geometrischen Quotientenraum: Kreis, Sphaere als Quotientenraueme, Zylinder, Torus.

Woche 5: Moebius Band, Kleinsche Flasche, Flaesche mit hoehere Geschlecht, Mannigfaltigkeiten, Torus als ein Beispiel einer Mannigfaltigkeit.

Woche 6: Gruppenoperationen, der Quotientenraum von einer diskreten und stetigen Gruppenoperation auf einer Mannigfaltigkeit ist wieder eine Mannigfaltigkeit, Zusammenhang und Wegzusammenhang.

Woche 7: Aequivalenz zwischen dem Zusammenhang und dem Wegzusammenhang fuer Maninnigfaltigkeiten, Wegzusammenhang Komponente, Definition von Homotopie von Wegen, Produkt von Wegen.

Woche 8: Fundamentalgruppe, einfach Zusammenhang, sternfoermige Mengen in R^n haben triviale Fundamentalgruppe, die n-dimensionale Sphaere ist einfach zusammenhaengend fuer n mindesten 2.

Woche 9: Homotopieaequivalenz, Fundamentalgruppe der homotopieaequivalent Raueme sind isomorphe, Korollar: R^2 und R^n (n >2) sind nicht homoemorph, Ueberlagerung und Eigenschaften.

Woche 10: Hochheben von Wegen, Hochhebungen von homotopen Wegen sind homotop, die Fundementalgruppe des Quotientraum aus einer stetigen und diskreten Gruppeoperation G ist isomorph zu G, Berechnunggen der Fundamentalgruppe von S^1, n-Torus, und geometrische Veranschaulichen der Schleifen, die die letzten Fundamentalgruppen erzeugen.

Woche 11: Existenz und Eindeutigkeit der universellen Ueberlagerung.

Woche 12: Universelle Eigenschafte der universellen Ueberlagerung, Bijektion zwischen der Klasse der Ueberlagerungen eines weg, lokal, semi-lokal einfach-zusammenhaengenden Raums B und der Klasse der Untergruppen der Fundamentalgruppe von B, Freie Product von Gruppen.

Woche 13: van Kampens Satz, Berechnung der Fundamentalgruppe der Wedge Sum der Kreise (siehe Hatchers Buch, Seite 43), Berechnung der Fundamentalgruppe der Flaesche mit hoehere Geschlecht.

Woche 14: Vorbereitung zur Klausur.