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Allgemeine Informationen

Die Vorlesung Algebraische Zahlentheorie (Zahlentheorie I)
findet zu folgenden Zeiten im Hörsaal des Mathematischen Instituts statt:

Skript

Es gibt zwar kein offizielles Skript, aber meine handschriftlichen Notizen, die mal ausführlicher aber auch mal knapper ausfallen können, finden Sie, in Abschnitte gegliedert und nach und nach aktualisiert, hier. Der Ordner ist Passwort-geschützt. Das Passwort erhalten Sie in der Vorlesung.

Links

Sage-Tutorial in CoCalc: Wenn Sie einen Account erstellt haben, erstellen Sie ein neues Projekt und klicken dann auf "Library" und dann "SageMath in Cocalc" sowie den grünen Button "Get a Copy". Danach finden Sie im Ordner "sage" in Ihrem Projekt eine Datei "SageBeginnerTutorial.sagews". Öffnen Sie diese und führen Sie alle Zellen darin nach Anweisung aus, um ein paar Basics zu lernen.

Vorlesungsinhalte

In der Vorlesung im Sommersemester werden die ersten Grundlagen der algebraischen Zahlentheorie behandelt. Wir werden uns mit den Eigenschaften ganzer Zahlen in algebraischen Zahlkörpern, also endlichen Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen beschäftigen.

Insbesondere werden die Klassenzahl, die Struktur der Einheitengruppe und das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in den Erweiterungen behandelt. Eine besondere Schwierigkeit liegt darin, dass der Ring der ganzen Zahlen in einem algebraischen Zahlkörper im Allgemeinen kein faktorieller Ring ist, d.h., dass der Satz der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in solchen Ringen nicht gilt. Dieses Problem wird durch den Übergang zu Idealen gelöst (die ursprünglich von Ernst Eduard Kummer "ideale Zahlen" getauft wurden).

Am Ende des Semester werden wir genug Theorie entwickelt haben, um den letzen Satz von Fermat für sogenannte reguläre Primzahlen (von denen es vermutungsweise unendlich viele gibt) zu beweisen. Dieser Beweis stammt von Kummer aus dem Jahr 1850.

Literatur

Für die Nachbereitung und die Vertiefung des Vorlesungsstoffes sind z.B. geeignet: