Sprechstunde: Di 15:30-16:30 Uhr

Zuständiger Assistent: Tilman Becker

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Wie bearbeitet man sinnvoll ein Übungsblatt? (von Prof. Manfred Lehn)

In praise of lectures (von Prof. Tom Körner)

Die Lineare Algebra ist ursprüglich aus der Analytischen Geometrie hervorgegangen. In meiner Jugendzeit hieß die einführende Vorlesung in diesem Bereich oft noch Analytische Geometrie und Lineare Algebra. In der weiteren Entwicklung hat sich der Fokus etwas verschoben zu einer Betonung linearer Strukturen, die auch außerhalb geometrischer Problemstellungen in der Mathematik, Physik und Anwendungen relevant sind.

Die Lineare Algebra II ist Fortsetzung und Abschluß einer zweisemestrigen Vorlesung, die neben dem Anfängerzyklus in Analysis die Grundlagen für alle weiterführenden mathematischen Studien legt.

Zentrale Themen sind die Normalformentheorie für lineare Abbildungen, Matrizen und quadratische Formen, sowie die Vertiefung der Vektorraumtheorie (Quotiententenräume, Dualität). Weiterhin werden wir uns mit der Geometrie in euklidischen und unitären Vektorräumen beschäftigen, wie auch mit der projektiven Geometrie. Weitere Themen sind multilineare Algebra, symplektische und orthogonale Gruppen, und die Quaternionen.

Literaturhinweise: Wie im letzten Semester werde ich mein Manuskript (jeweils nach der Vorlesung) im ILIAS-Kurs zur Verfügung stellen.

Meine Vorlesung folgt nicht einem bestimmten Buch, orientiert sich aber am ehesten an denen von Bröcker und Koecher.

S. Axler: Linear Algebra Done Right (4. Auflage), Springer (2023). Hier frei verfügbar.
T. Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Springer (2004).
M. Koecher: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Springer (1985).
R. Walter: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Vieweg (1985).

Tutorium zur Vorlesung: dienstags 16:00 Uhr im Hörsaal des Mathematischen Instituts; Beginn: 16. April.

Zulassungskriterium für die Abschlußklausur: 50% der Übungspunkte. Außerdem sollte mindestens einmal in den Übungen vorgerechnet werden.

Klausurtermine:
Samstag, 27.07.24, 13:00-16:00, Kurt-Alder-Hörsaal
Montag, 23.09.24, 14:00-17:00, Physik I

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)

Inhaltsverzeichnis: (im Aufbau)

10. Operationen mit Vektorräumen
10.1. Produkt, Summe und direkte Summe
10.2. Quotientenräume

11. Dualität
11.1. Der Dualraum
11.2. Die duale Abbildung
11.3. Die Matrixdarstellung der dualen Abbildung
11.4. Der Bidualraum

12. Trigonalisierung und Diagonalisierung von Endomorphismen
12.1. Der Satz von Cayley-Hamilton
12.2. Das Minimalpolynom
12.3. Trigonalisierung
12.4. Diagonalisierung

13. Bilinearformen
13.1. Symmetrische Bilinearformen und quadratische Formen
13.2. Der Sylvestersche Trägheitssatz
13.3. Reelle und unitäre Skalarprodukte
13.4. Der Rieszsche Darstellungssatz
13.5. Die adjungierte Abbildung

14. Endomorphismen euklidischer und unitärer Räume
14.1. Normale Endomorphismen
14.2. Isometrien
14.3. Die Normalform unitärer und orthogonaler Matrizen

15. Die Jordansche Normalform
15.1. Der euklidische Algorithmus für Polynome
15.2. Die Hauptraumzerlegung
15.3. Nilpotente Endomorphismen
15.4. Die Jordan-Chevalley-Zerlegung
15.5. Anwendung auf lineare Differentialgleichungen

H. Geiges, 6.12.23