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gsz. Der geniale indische Mathematiker Srinivasan Ramanujan (1887-1920), der bloss ein Jahr Mathematik studierte und sich alles Weitere autodidaktisch beibrachte, produzierte in seinem kurzen Leben bahnbrechende Ergebnisse, die seither Generationen von Mathematikern in Atem halten. Die sogenannten «Mock-Theta-Funktionen» (etwa «gefälschte» oder Pseudo-Theta-Funktionen), über die er von seinem Totenbett aus schrieb, werden von Experten zu seinen tiefgründigsten Arbeiten gezählt. Erst vor kurzem gelang es zwei Mathematikern, das Geheimnis um die rätselhaften Funktionen zu entschlüsseln.[1]
Ramanujans Vermächtnis
Zwei Monate vor seinem Tod (vermutlich durch Tuberkulose) im Alter von 32 Jahren hatte Ramanujan einen letzten Brief an seinen Freund und Mentor in Cambridge, Godfrey Harold Hardy, geschrieben. «Ich habe vor kurzem sehr interessante Funktionen gefunden, die ich ‹Mock-Theta-Funktionen› nenne. Sie treten in der Mathematik ebenso wunderschön auf wie die gewöhnlichen Theta-Funktionen», berichtete er und bezog sich dabei auf die von Carl Gustav Jacobi Anfang des neunzehnten Jahrhunderts eingeführten Theta-Funktionen, mit denen die neu entdeckten Funktionen eine gewisse formale Ähnlichkeit hatten.
Ramanujan führte siebzehn Beispiele dieser mysteriösen Potenzreihen an. Er gab aber weder eine Definition noch Konstruktionsmethoden an, und er erklärte auch nicht, warum er diese Funktionen für so bedeutend hielt. Möglicherweise hatte er Hardy gegenüber präzisere Angaben gemacht, doch die ersten Seiten des Briefes sind verschollen. Da Ramanujan aber ein unfehlbares Gespür für tiefe mathematische Zusammenhänge hatte, waren viele Mathematiker davon überzeugt, dass hinter den Funktionen eine wichtige Theorie stecken müsse.
Nach seinem Tod übergab Ramanujans Witwe die Notizbücher, in die der Mathematiker alle seine 3542 Theoreme fein säuberlich eingetragen hatte, der Universität von Madras. Diese leitete sie nach Cambridge weiter, wo Mathematiker sie mit Akribie durchforsteten. 1976 kam es zu einer bedeutungsvollen Entdeckung. In der Bibliothek des Trinity College in Cambridge fand der Amerikaner George Andrews ein 138-seitiges Bündel von Notizen in Ramanujans Handschrift, das noch von niemandem gesichtet worden war. Der Fund ging als «Ramanujans verlorenes Notizbuch» in die Geschichte ein. In diesem verlorenen Notizbuch fanden Forscher zwei weitere Mock- Theta-Funktionen. (In den 1930er Jahren entdeckte ein englischer Mathematiker unabhängig drei weitere Beispiele.)
Obwohl sich die geheimnisvollen Potenzreihen in den folgenden Jahrzehnten in Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik, mathematischer Physik, Chemie und sogar in der Krebsforschung als nützlich erwiesen, wurden zu ihrem eigentlichen Verständnis nur wenige Fortschritte gemacht. Mathematiker bewiesen Theoreme über den Gebrauch von Mock-Theta- Funktionen, ohne über die mysteriösen Objekte selber viel zu wissen. Aber die vielen Anwendungen innerhalb und ausserhalb der reinen Mathematik liessen klar werden, dass die Funktionen Teil einer wichtigen, umfassenderen Theorie sein müssen, die bloss darauf wartete, entdeckt zu werden.
Schritte zur Lösung des Rätsels
Der erste Durchbruch kam im Jahre 2002, als der Holländer Sander Zwegers bewies, dass Mock- Theta-Funktionen Teile sogenannter real-analytischer Modulformen sind, die zum Beispiel in der Zahlentheorie (wie beim Beweis des Fermatschen Theorems), der algebraischen Topologie, der Funktionentheorie oder der Stringtheorie eine wichtige Rolle spielen. Die grundlegende Frage, wie sich diese Funktionen aus einer übergeordneten Theorie herleiten liessen, war damit aber immer noch nicht beantwortet.
Dies ist nun den Mathematikern Kathrin Bringmann und Ken Ono von der University of Wisconsin in Madison gelungen. In einer Serie von Arbeiten bewiesen sie kürzlich, dass Mock- Theta-Funktionen zu einer neuen Theorie gehören, die einen Zusammenhang zwischen klassischen Modulformen und sogenannten harmonischen Maass-Formen - einer modernen Verallgemeinerung der Modulformen - herstellt. Damit ist Ramanujans Rätsel gelöst. Aus der Theorie folgt unter anderem, dass es unendlich viele Mock-Theta-Funktionen gibt. Die Bedeutung der Arbeiten wird auch dadurch ersichtlich, dass Bringmann und Ono mit Hilfe der neuen Theorie einige bisher ungelöste Vermutungen der Zahlentheorie beweisen konnten.
[1] Proceedings of the National Academy of Sciences 104, 3725-3731 (2007).
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