Prof. Dr. Matthias Lesch

	Vorlesung:	Mikrolokale Analysis 4 St. Di., Fr. 12 - 14 im Seminarraum 1 des Mathematischen Instituts Bereich A D
	Seminar 1:	Charakteristische Klassen 2 St. Mi. 8 - 10 oder nach Vereinbarung Bereich C
	Seminar 2:	Dirac-Operatoren und Spin Geometrie 2 St. Fr. 8 - 10 oder nach Vereinbarung Bereich A C

Die o.g. Veranstaltungen sind aufeinander abgestimmt (sie können jedoch durchaus unabhängig voneinander besucht werden). Sie stellen die wesentlichen Grundlagen der Geometrischen Analysis bereit. An den erfolgreichen Besuch dieser Veranstaltungen könnte sich eine Diplomarbeit anschließen.

In der Vorlesung sollen Pseudodifferentialoperatoren und Fourierintegraloperatoren behandelt werden. Diese bilden ein wichtiges Werkzeug z.B. in der Regularitätstheorie elliptischer Gleichungen. Die Theorie der Fourierintegraloperatoren (nach Hörmander) ist sehr elegant und voller innerer Schönheit. Anwendungen sind das Cauchy-Problem für hyperbolische Gleichungen sowie die optimale Asymptotik für die Eigenwerte des Laplace-Operators. Desweiteren gibt es Bezüge zur theoretischen Mechanik (symplektische Geometrie).
Vorkenntnisse: Grundvorlesungen, Grundkenntnisse in Funktionalanalysis oder Partiellen Differentialgleichungen.

Literatur:
A. Grigis, J. Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators. An introduction. London Mathematical Society Lecture Note Series No. 196, Cambridge University Press, 1994.

Charakteristische Klassen, das Thema des Seminars 1, sind von fundamentaler Bedeutung in verschiedenen mathematischen Disziplinen (Algebraische Geometrie, Topologie und Analysis, Differentialgeometrie).
Vorkenntnisse: Grundvorlesungen, Grundkenntnisse über differenzierbare Mannigfaltigkeiten.

Literatur:
J. Milnor, J. Stasheff: Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies No. 76, Princeton University Press, 1974.

Dirac-Operatoren und Spin Geometrie haben ihren Ursprung in der theoretischen Physik. Für die Mathematik (Indextheorie auf Mannigfaltigkeiten) wurden Dirac-Operatoren von Atiyah wiederentdeckt. Im Seminar 2 soll die Klassifikation von Clifford-Algebren und daran anschließend die Konstruktion von Dirac-Operatoren auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten besprochen werden. Desweiteren ergeben sich Anwendungen in Topologie und Differentialgeometrie.
Vorkenntnisse: Grundvorlesungen, Differentialgeometrie oder Differentialtopologie.

Literatur:
H.B. Lawson, M.L. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989.