Grundbegriffe der Topologie

Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen

Implizite Funktionen

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Kurven im R^n

Prof. Dr. G. Marinescu

Tel.: 470 2661

Sitz: Weyertal 86-90, Zimmer 110

Sprechstunde: Mo 10 - 11 Uhr

Dr. M. Erat

Tel.: 470 3372

Sitz: Weyertal 86-90, Zimmer 0009

Vorlesung: Mo, Do, 8-10 Uhr im Hörsaal B des Hörsaalgebäudes

Übung: Anmeldung in der erste Woche. Genaue Zeiten sowie Gruppeneinteilung werden am Ende der ersten Vorlesungswoche bekannt gegeben.

Mathematische Vorlesungen sind vortragsorientierte Lehrveranstaltungen. Sie dienen der Vermittlung grundlegender oder weiterführender Kenntnisse über bestimmte Teilgebiete der Mathematik.

Die Vorlesungen sind nicht so gedacht, daß der Vorlesungsstoff während der Vorlesung vollständig absorbiert werden kann. Es geht vielmehr darum, den Aufbau eines mathematischen Gebietes lückenlos oder exemplarisch vorzuführen und dabei eine Stoffmenge darzubieten, die in einer Woche erarbeitet werden kann (und muß).

Zum Verständnis und zur vollständigen Aneignung des gebotenen Stoffes ist die kontinuierliche eigene Nacharbeit unerläßlich; erfarungsgemäß sind dafür mindestens sechs Stunden wöchentlich erforderlich, am Anfang unter umständen sogar mehr.

Es ist deshalb sehr ratsam, die Vorlesung mitzuschreiben.

In Praise of Lectures

Parallel zur Vorlesung werden Übungen angeboten, zu denen eine Anmeldung erforderlich ist. Die Anmeldung erfolgt in der ersten Woche in der Vorlesung.

Beginn des Übungsbetriebs: 10. April 2012

In der Vorlesung wird jede Woche ein Aufgabenblatt ausgeteilt, das von den Teilnehmern bearbeitet werden soll. Die Abgabe der Lösungen erfolgt eine Woche später in der Übungsstunde. Die Lösungen werden bewertet und in den Übungsstunden besprochen, unter fachkundiger Leitung und aktiver Beteiligung der Studierenden.

Übungen unterstützen die selbständige Aneignung sowie die Anwendung des Vorlesungsstoffes durch Aufgabenstellungen, die unmittelbar am jeweiligen Vorlesungsstoff orientiert und so ausgewählt sind, daß sie mit den Mitteln der Vorlesung gelöst werden können. Der Schwierigkeitsgrad kann natürlich variieren, etwa zwei Drittel der Übungen sollten aber bei regelmäßiger Mitarbeit problemlos zu lösen sein.

Mathematik lernt man, indem man sie betreibt, also auf Probleme anwendet. Es ist deshalb sehr wichtig für den eigenen Studienerfolg, daß die Übungen selbstständig bearbeitet werden. Als Leistungsnachweis, auch zur eigenen Erfolgskontrolle, sind die Übungsaufgaben schriftlich zu lösen in einer Form, die eine problemlose Korrektur ermöglicht.

Wie bearbeite ich sinnvoll ein Übungsblatt?

Selbstverständlich werden in die Großübung (und in den Übungen, soweit dafür Zeit bleibt) auch allgemeine Fragen zur Vorlesung besprochen, und es werden Lösungsvarianten, Analogien und auch Vertiefungen erörtert; darüberhinaus stehen alle Mitarbeiter in ihren oben angegebenen Sprechstunden bzw. nach besonderer Vereinbarung für Erläuterungen zur Verfügung. Von diesem Angebot sollten Sie fleißig Gebrauch machen!

Es ist sinnvoll, neben der Vorlesung, die ja einen weitgehend standardisierten Stoff bespricht, auch Lehrbücher zu benutzen. Die Vorlesung wird keinem der Lehrbücher in allen Einzelheiten folgen, aber zur Überprüfung oder Ergänzung sind die folgenden Bücher alle geeignet. Empfehlenswert ist es, sich ein Buch, das dem persönlichen Geschmack entspricht, zur genaueren Lektüre auszusuchen.

• Königsberger: Analysis I, II   Springer-Lehrbuch, 4., neubearb. u. erw. Auflage, 1999
• Heuser: Lehrbuch der Analysis I, II   Teubner, Stuttgart, 1990
• Walter: Analysis 1, 2   Springer, 1999
• Dieudonné: Grundzüge der modernen Analysis   Viehweg, 1971

Genauso wichtig ist, neben der Übungen noch anderen Aufgaben zu lösen. Die vier-fünf Aufgaben pro Übungsblatt sind das Minimum Minimorum das man bearbeiten sollte! Dazu gibt es viele Aufgabensammlungen wie Z.B.:

• Polya, Szegö: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis 1., 2. Springer, Heidelberger Taschenbücher, Band 73-74, 1970, 1971 (ein Klassiker)
• Timmann: Repetitorium der Analysis Teil 1., 2. Binomi Verlag, 1996.
• Forster, Wessoly: Übungsbuch zur Analysis I. Aufgaben und Lösungen. Vieweg, 2006.
• Forster, Szymczak: Übungsbuch zur Analysis 2. Aufgaben und Lösungen. Vieweg, 2006.

Am Ende des Semesters findet eine Klausur statt, deren Inhalt der Stoff aus Vorlesung und Übungen ist. Die Klausur findet am Samstag 14.07.12 in PI-II ChI-III statt. Die Nachklausur findet am Do. 04. Oktober 2012, 9:30-12:30 Uhr, in Aula 1+2 statt

Prüfungsordnungen

Dieses Vorlesungsskript ist als ein Arbeitsmittel für die Hörer der Vorlesung gedacht, und zwar als Sammlung der Definitionen, Formeln und Sätze der Analysis. Beweise sind nur in seltenen Fällen angegeben, z.B. wenn sie in der Vorlesung nicht vorgeführt werden oder wenn sie in ähnlicher Form nicht in der Literatur auffindbar sind.

Anmeldung, Einteilung in Übungsgruppen

Direkt zur Übungsblätter

Vorlesung	Datum	Themen	Literatur
1	02.04.2012	Motivation und Überblick, Gleichmäßige Konvergenz	KI 15.1, WI 7.1
2	05.04.2012	Vertauschungssätze, Gliedweise Differentiation und Integration der Potenzreihen	KI 15.2, KI 9.5
3	12.04.2012	Abelscher Grenzwertsatz, analytische Funktionen	KI 14.2, KI 15.3
4	16.04.2012	Restgliedabschätzungen für logarithmische und binomische Reihe	KI 8.5
5	19.04.2012	Konvexe Funktionen, Jensen-, AGM-, Young-Ungleichung	KI 9.7-9.8
6	23.04.2012	Hölder, Minkowski-Ungleichung, normierte Vektorräume, Skalarprodukträume, metrische Räume	KI 9.7-9.8, KII 1.1-1.2
7	26.04.2012	Schwarzsche Ungleichung, Konvergenz, vollständige metrische Räume	KII 1.1-1.2
8	30.04.2012	Bolzano-Weierstrass in R^n, Reihen in normierten Voktorräume, äquivalente Normen, offene und abgeschlossene Mengen in metrischen Räume	KII 1.1-1.2, 1.6
9	03.05.2012	Topologie, topologische Räume, das Innere, der Abschluß, der Rand einer Menge	KII 1.1-1.2
10	07.05.2012	Eigenschaften des Inneres, des Abschluß, des Randes, dichte Teilmengen, Teilraumtopologie, Produkttopologie, stetige Abbildungen: Beispiele	KII 1.1-1.2
11	10.05.2012	Stetige Funktionen: Rechenregeln, Verkettung, Folgen- und epsilon-delta-Kriterium, globale Charakterisierung	KII 1.3
12	14.05.2012	Polarkoordinaten, stetige lineare Abbildungen, Kompaktheit und Folgenkompaktheit, Bolzano-Weierstrass in metrischen Räume	KII 1.3-4
13	21.05.2012	Satz von Heine-Borel, stetige Bilder kompakter Mengen, Satz von Minimum und Maximum, Zusammenhang	KII 1.4-5
14	24.05.2012	stetige Bilder zusammenhängender Mengen, verallgemeinerter Zwischenwertsatz, Wegzusammenhang, differenzierbare Abbildungen	KII 1.4-5, 2.1
15	04.06.2012	Rechenregel für differenzierbaren Abbildungen, Kettenregel, partielle Ableitungen	KII 2.1, 3.1
16	11.06.2012	Jacobimatrix, Kettenregel in Matrix-Form, Gradient, Hauptkriterium für Differenzierbarleit	KII 2.1, 3.1
17	14.06.2012	Mittelwertsatz, Schrankensatz, Satz von Schwarz	KII 2.2, 2.3
18	18.06.2012	Hesseform, Hessematrix, höhere partielle Ableitungen, Taylorformel mit Lagange-Restglied	KII 2.3, 2.4
19	21.06.2012	qualitative Taylorformel, Kriterien für Extremum	KII 2.4, 2.5
20	25.06.2012	Extremwertbestimmung, Tangentialhypereben, Schmiegquadrik an dem Graph einer Funktion	KII 2.5
21	28.06.2012	Banachscher Fixpunktsatz, Diffeomorphismen, Differential der Inverse einer Abbildung	KII 3.3
22	02.07.2012	Umkehrsatz	KII 3.3
23	05.07.2012	Satz über implizite Funktionen	KII 3.4