Peter Littelmann und Lara Bossinger
Mi 14:00-15:30, Stefan Cohn-Vossen Raum des Mathematischen Instituts (Raum 313)
In der Darstellungstheorie
studiert man algebraische Strukturen, z.B. endlich-dimensionale Algebren, indem man sie als
Symmetrien auf Vektorräumen realisiert. Damit kann man Methoden der linearen Algebra zur
Untersuchung dieser Objekte anwenden. In diesem Seminar werden wir uns mit der Darstellungstheorie
von Köchern (gerichtete Graphen) beschäftigen. Diese sehr simplen Objekte sind
von erstaunlich grosser Relevanz, z.B. kann jede endlich-dimensionale assoziative Algebra mit
Hilfe eines Köcher realisiert werden. Im Seminar werden wir uns hauptsächlich mit solchen Köchern
beschäftigen, deren Darstellungstheorie endlich und somit sehr gut zu kontrollieren ist.
Neben grundlegenden Begriffen der Kategorientheorie werden auch Grundsätze der homologischen
Algebra thematisiert werden.
Vorraussetzungen: lineare Algebra, Vorkenntnisse der Algebra (Gruppen, Ringe, Moduln)
Vorbereitende Literatur:
Grundlagen zu Algebren und Moduln werden im Seminar nicht wiederholt. Es ist daher notwendig die entsprechenden
Definitionen vor Semesterbeginn in Eigenarbeit zu wiederholen. Empfohlen wird dazu das Buch [ASS] Kapitel I.1-3.
Die Vorbesprechung findet am Mittwoch, 24.01.2018 um 14:00 im Seminarraum 1 des Mathematischen Instituts (Raum 005).
Ein Handout mit einer Kurzzusammenfassung und Beispielen gibt es hier.
Übersicht der Vorträge:
- Vortrag 1: "Köcher und ihre Wegealgebren I"
11.04.2018, Patrick
- Köcher, Wegealgebra, Idempotente, Beispiele
- [ASS] Kapitel II.1 S 41-46 und Kapitel I.4 S.18
- Vortrag 2: "Zerlegung in direkte Summen"
18.04.2018, Lisa
- Lifting von Idempotenten, Theorem zur eindeutigen Zerlegbarkeit, Darstellungstyp, Beispiele
- [ASS] Kapitel I.4 S. 19-25
- Vortrag 3: "Exkursion: Kategorien und Funktoren"
25.04.2018, Julius
- Kategorie und Eigenschaften (additiv, abelsch,...), Beispiel Mod A und mod A
- ko- und kontravariante Funktore, natürliche Transformation, Eigenschaften (voll, treu,...), Beispiele Hom und Tensor
- [ASS] Kapitel A.1 S. 404-415, für Beispiele Kapitel I.3 S. 8-9 und 12-13
- Vortrag 4: "Projektive und injektive Moduln"
04.05.2018, Thomas
- kurze exakte Sequenzen, Schlangenlemma, projektive/injektive Auflösung,..., Beispiele
- [ASS] Kapitel I.5 S. 25-32
- Vortrag 5: "Basische Algebren und Einbettungen von Modulkategorien"
09.05.2018, Julia
- basische Alegbra, Restriktionsfunktor, Funktor idempotenter Einbettungen,..., Beispiele
- [ASS] Kapitel I.6 S. 32-38
- Vortrag 6: "Köcher und ihre Wegealgebren II"
16.05.2018, Ina
- Eigenschaften von Wegealgebren (zusammenhängend, ...), Pfeilideal, Beispiele
- [ASS] Kapitel II.1 S. 46-52
- Vortrag 7: "Zulässige Ideale und Quotienten der Wegealgebra"
30.05.2018, Karina
- zulässig, bound Köcher, Relation,..., Beispiele
- [ASS] Kapitel II.2 S 53-59
- Vortrag 8: "Köcher endlich-dimensionaler Algebren"
06.06.2018, Dennis
- Köcher einer Algebra und Eigenschaften, Beipiele
- [ASS] Kapitel II.3 S. 59-65
- Vortrag 9: "Darstellungen von Köchern"
13.06.2018, Samanta
- Darstellung einers Köchers, endlich-dimensional, Eigenschaften der Darstellungskategorie,
Euqivalenz der Darstellungs- und Modulkategorien, Beispiele
- [ASS] Kapitel III.1 S. 69-76
- Vortrag 10: "Exkursion II: Homologische Algebra"
20.06.2018, Kirsten
- (Ko-)Kettenkomplex, projektive/injektive/globale Dimension, die Funktoren Ext und Tor, ..., Beispiele
- [ASS] Kapitel A.4 S. 424-431
- Vortrag 11: "Einfache und Projektive Moduln von Wegealgebren"
27.06.2018, Alina
- eifache und projektive Moduln, Eigenschaften, Beispiele
- [ASS] Kapitel III.2 S. 76-81
- Vortrag 12: "Injektive Moduln und Nakayama Funktor"
04.07.2018, Nadine
- Injektive Moduln und Eigenschaften, Nakayama Funktor, Ext und Eigenschaften, Dimensionsvektoren, Beipiele
- [ASS] Kapitel III.2 S. 81-86 und III.3 S. 86-87 (bis Beispiel 3.2)
- Vortrag 13: "Dimensionsvektoren und Eulercharakteristik"
11.07.2018, tba
- Eigenschaften von Dimensionsvektoren, Grothendieckgruppe, Eulercharakteristik und quadratische Form,..., Beipiele
- [ASS] Kapitel III.3 S. 87-93
Literatur:
- [ASS] "Elements of the Representation Theory of Associative Algebras", Ibrahim Assem, Daniel Simson, Andrzej Skowronski,
London Mathematical Society Student Texts 65 (2006)
- [B] "Introduction to the Representation Theory of Algebras" - Micheal Barot, Springer (2010)
- [K] "Quiver Representations and Quiver varieties" - Alexander Kirillov Jr., Graduate Studies in Mathematics 174 (2016)
- [S] "Quiver Representations" - Ralf Schiffler, CMS Books in Mathematics, Springer (2014)