Der Begriff Darstellungstheorie ist eng mit dem Konzept Symmetrie verbunden, das viele Zweige der Mathematik und der Naturwissenschaften durchzieht. Die Symmetrien eines gegebenen Problems oder Systems übertragen sich auf die Lösungen des Problems oder die Beschreibung des Systems und sie reduzieren dadurch die Zahl der möglichen Freiheitsgrade. Die Darstellungstheorie verwandelt diese einfache Beobachtung in ein System von Methoden, um passende Lösungen oder Beschreibungen zu finden. Zum Beispiel liefert die Darstellungstheorie Verfahren, um abstrakte mathematische Begriffe wie die Symmetriegruppe eines Systems auf verschiedene Weisen durch Matrizen von Zahlen darzustellen, wodurch diese Symmetrien dann konkreten Untersuchungen und Berechnungen zugänglich werden.
Der Anwendungsbereich dieser Theorie ist ungewöhnlich weit gefächert. In der Chemie verwendet man sie zum Beispiel bei der Untersuchung der Symmetrien von Molekülen, ein klassischer Anwendungsbereich in der Physik ist die Quantenmechanik. Weitere Anwendungsgebiete in der Physik und angrenzenden Gebieten sind zum Beispiel integrable Gittermodelle, die Theorie der Elementarteilchen, Zufallsmatrixtheorie, Stringtheorie und Quantum Computing.
Die Darstellungstheorie spielt auch in vielen Zweigen der Mathematik eine wichtige Rolle, zum Beispiel in Algebraischer Geometrie, Topologie, Zahlentheorie und Differentialgeometrie. Wegen ihrer universellen Anwendbarkeit und der Vielfalt ihrer Ausformungen ist die Darstellungstheorie per se interdisziplinär und gilt auch als ein mathematisch-naturwissenschaftliches Ordnungsprinzip. Die zentrale Stellung innerhalb der Mathematik wird zum Beispiel belegt durch die Verleihung zweier Fieldsmedaillen im Jahre 2006 (an A. Okounkov und T. Tao) für interdisziplinäre Arbeiten mit engen Bezügen zur Darstellungstheorie.
Begründet wurde die Darstellungstheorie gegen Ende des 19. Jahrhunderts durch Frobenius im Rahmen seiner Untersuchungen von endlichen Gruppen. Viele noch immer relevante fundamentale Grundlagen, Objekte und Begriffe wurden am Anfang des 20. Jahrhunderts durch Pioniere wie Schur, Burnside, Cartan, Killing, Weyl und Brauer entwickelt. Seit den Anfängen der Darstellungstheorie gab es eine Anzahl gewichtiger Umbrüche in der Sichtweise und der konzeptionellen Vorgehensweise, was auch zur Neuausrichtung und Bildung von Teilgebieten geführt hat. Bereits seit einigen Jahren bewegen sich die Teilgebiete der Darstellungstheorie mit zunehmender Geschwindigkeit wieder aufeinander zu. Neue fachübergreifende methodische Zugänge entstehen, und die innovative Kombination von Methoden ermöglicht profunde Einsichten in Grundprobleme ebenso wie verbesserte Anwendungen.
Ganz allgemein hat in der mathematischen Forschung nach Jahrzehnten der Spezialisierung ein Paradigmenwechsel eingesetzt. Die Entdeckung neuartiger Zusammenhänge beruht auf der Zusammenführung oft sehr unterschiedlicher Spezialgebiete und auf der Anwendung tiefer kategorieller oder geometrischer Strukturen, aus denen heraus die eigentlich betrachteten Probleme verstanden und gelöst werden können. Die Notwendigkeit, diese Zusammenführung und Vereinheitlichung zu fördern, zu koordinieren, teilweise überhaupt erst zu ermöglichen, aber auch zu nutzen, und sich dabei auf eine vielfältig vernetzte, anwendbare und durch Spitzenleistungen herausragende Schlüsseldisziplin der Mathematik zu konzentrieren, liegt diesem Antrag auf Einrichtung eines Schwerpunkts zugrunde.
| Impressum |