Lehrstuhl Kawohl

• Das Newtonsche Problem minimalen Strömungswiderstandes:
  
  Gesucht ist ein Körper minimalen Strömungswiderstandes in einer verdünnten Partikelströmung. Die Modellierung dieses Problems führt auf ein nichtkonvexes, nichtkoerzitives Funktional, welches auf geeigneten Mengen von Körpern untersucht wird. Interessanterweise sind optimale Körper mit kreisförmigem Maximalquerschnitt nicht rotationssymmetrisch. Dies ändert sich bei der Berücksichtigung von Reibungseffekten. (B.Kawohl et al.)
  
  
• Viskositätslösungen für parabolische Gleichungen konstanter mittlerer Krümmung
  
  Gleichungen dieses Typs tauchen in Zusammenhang mit freien Randwertproblemen in Flüssigkeiten unter Mikrogravitation oder Schwerelosigkeit auf. Ihre Lösungen verletzen klassische Dirichletsche Randbedingungen, lassen sich jedoch noch als Viskositätslösungen im Sinne von Crandall/Lions deuten. (M.Kocan, N.Kutev, B.Kawohl)
  
  
• Rearrangementprobleme
  
  Die lokalen Minima vieler Variationsprobleme der mathematischen Physik haben einfache qualitative Eigenschaften, z.B. Monotonie oder Radialsymmetrie. Um solche Symmetrien herzuleiten, kann man stetige Umordnungen verwenden. Ein typischer Satz ist der folgende: Jede beschränkte Gleichgewichtsfigur einer um eine Achse gleichförmig rotierenden Flüssigkeit, die nur der Eigengravitation unterworfen ist, besitzt eine auf der Symmetrieachse senkrecht stehende Symmetrieebene. (F. Brock)
  
  Wie muß man eine Last auf einer elastischen Membran verteilen, damit diese möglichst wenig durchhängt?
  
  Wie muß man eine gegebene Menge Isoliermaterials auf dem Rand eines Körpers verteilen, damit er optimal vor Wärmeverlust geschützt ist? (S. Cox, B.Kawohl)
  
  
• Freie Randwertprobleme
  
  Bei diesen Problemen ist die Geometrie des Gebietes eine weitere Unbekannte. So legt etwa bei Oberflächen von Flüssigkeiten mit Oberflächenspannung die Druckdifferenz zwischen beiden Seiten der Oberfläche deren mittlere Krümmung fest. Im zeitabhängigen Fall kann sich diese Oberfläche im Raum bewegen. Ein anderes freies Randwertproblem besteht darin, die Gestalt eines in eine Flüssigkeit eingetauchten Körpers minimalen Strömungswiderstandes durch Minimierung eines Funktionals zu bestimmen. Je nach physikalischem Modell hängt dieses Funktional auch von der den Körper umfließenden Strömung ab. (A.Wagner)
  
  
• Blow up von Lösungen eines Chemotaxis modellierenden Systems nichtlinearer, parabolischer partieller Differentialgleichungen
  
  Im Entwicklungsgang zellulärer Schleim-Pilze ist zu beobachten, daß nach einer Vermehrungsphase der aus den Pilzsporen entstandenen Amöben eine Aggregation stattfindet. Diese wird bei einigen Pilzarten durch die Abgabe eines chemischen Stoffes durch eine sogenannte Gründerzelle ausgelöst. Die übrigen Amöben scharen sich in der nachfolgenden Zeit um diese Gründerzelle. Für gewisse Anfangsdaten explodieren die Lösungen eines diesen Vorgang beschreibenden mathematischen Modells. Es stellen sich hierbei die Fragen, in welcher Form diese Explosion stattfindet und welche Voraussetzungen das Explosionsverhalten der Lösungen beeinflussen. (D.Horstmann)
  
  
• Minimalflächenprobleme
  
  Bei nichtkonvexen Gebieten oder inkompatiblen Randdaten sind diese Differentialgleichungen nicht klassisch lösbar. Es gibt jedoch verallgemeinerte Lösungen, die als Viskositätslösungen identifiziert, numerisch berechnet und graphisch dargestellt werden sollen. Dabei werden Grenzschichtphänomene erwartet. (H.G.Reschke)
  
  
• Bildverarbeitung und anisotrope Diffusion
  
  Sei g(x) die Helligkeitsverteilung eines unscharfen Bildes. Dann suggerieren numerische Experimente, daß es geeignete Diffusionsgleichungen gibt, welche den Startwert g(x) nach angemessener Zeit in ein schärferes Bild verwandeln. Dieses Phänomen wird analytisch untersucht. Die Diffusionsgleichungen sind hochgradig nichtlinear und enthalten als Spezialfälle äußerst schwierige Teilprobleme wie das Tricomi-Problem, Vorwärts-Rückwärts Diffusion usw. (B. Kawohl, N. Kutev, M. Mester)