Reelle und komplexe Zahlen

Folgen, Reihen, Grenzwerte

Stetige und differenzierbare Funktionen

Differentialrechnung

Elementare Funktionen

Integralrechnung

Prof. Dr. G. Marinescu

Tel.: 470 2661

Sitz: Weyertal 86-90, Zimmer 110

Sprechstunde: Mo 10 - 11 Uhr

Dr. M. Erat

Tel.: 470 3372

Sitz: Weyertal 86-90, Zimmer 0009

Vorlesung: Mo, Do, 8-9:30 Uhr im Hörsaal B des Hörsaalgebäudes

Übung: Anmeldung in der erste Woche. Genaue Zeiten sowie Gruppeneinteilung werden am Ende der ersten Vorlesungswoche bekannt gegeben.

Großübung: Mo, 14-15:30 Uhr im Hörsaal des MI

Mathematische Vorlesungen sind vortragsorientierte Lehrveranstaltungen. Sie dienen der Vermittlung grundlegender oder weiterführender Kenntnisse über bestimmte Teilgebiete der Mathematik.

Die Vorlesungen sind nicht so gedacht, daß der Vorlesungsstoff während der Vorlesung vollständig absorbiert werden kann. Es geht vielmehr darum, den Aufbau eines mathematischen Gebietes lückenlos oder exemplarisch vorzuführen und dabei eine Stoffmenge darzubieten, die in einer Woche erarbeitet werden kann (und muß).

Zum Verständnis und zur vollständigen Aneignung des gebotenen Stoffes ist die kontinuierliche eigene Nacharbeit unerläßlich; erfarungsgemäß sind dafür mindestens sechs Stunden wöchentlich erforderlich, am Anfang unter umständen sogar mehr.

Es ist deshalb sehr ratsam, die Vorlesung mitzuschreiben.

In Praise of Lectures

Parallel zur Vorlesung werden Übungen angeboten, zu denen eine Anmeldung erforderlich ist. Die Anmeldung erfolgt in der ersten Woche in der Vorlesung.

Beginn des Übungsbetriebs: 17. Oktober 2011

In der Vorlesung wird jede Woche ein Aufgabenblatt ausgeteilt, das von den Teilnehmern bearbeitet werden soll. Die Abgabe der Lösungen erfolgt eine Woche später in der Übungsstunde. Die Lösungen werden bewertet und in den Übungsstunden besprochen, unter fachkundiger Leitung und aktiver Beteiligung der Studierenden.

Übungen unterstützen die selbständige Aneignung sowie die Anwendung des Vorlesungsstoffes durch Aufgabenstellungen, die unmittelbar am jeweiligen Vorlesungsstoff orientiert und so ausgewählt sind, daß sie mit den Mitteln der Vorlesung gelöst werden können. Der Schwierigkeitsgrad kann natürlich variieren, etwa zwei Drittel der Übungen sollten aber bei regelmäßiger Mitarbeit problemlos zu lösen sein.

Mathematik lernt man, indem man sie betreibt, also auf Probleme anwendet. Es ist deshalb sehr wichtig für den eigenen Studienerfolg, daß die Übungen selbstständig bearbeitet werden. Als Leistungsnachweis, auch zur eigenen Erfolgskontrolle, sind die Übungsaufgaben schriftlich zu lösen in einer Form, die eine problemlose Korrektur ermöglicht.

Wie bearbeite ich sinnvoll ein Übungsblatt?

Selbstverständlich werden in die Großübung (und in den Übungen, soweit dafür Zeit bleibt) auch allgemeine Fragen zur Vorlesung besprochen, und es werden Lösungsvarianten, Analogien und auch Vertiefungen erörtert; darüberhinaus stehen alle Mitarbeiter in ihren oben angegebenen Sprechstunden bzw. nach besonderer Vereinbarung für Erläuterungen zur Verfügung. Von diesem Angebot sollten Sie fleißig Gebrauch machen!

Für diejenigen, die mehr üben möchten, steht ein kleines Übungsbuch zur Verfügung.

Es ist sinnvoll, neben der Vorlesung, die ja einen weitgehend standardisierten Stoff bespricht, auch Lehrbücher zu benutzen. Die Vorlesung wird keinem der Lehrbücher in allen Einzelheiten folgen, aber zur Überprüfung oder Ergänzung sind die folgenden Bücher alle geeignet. Empfehlenswert ist es, sich ein Buch, das dem persönlichen Geschmack entspricht, zur genaueren Lektüre auszusuchen.

• Königsberger: Analysis I   Springer-Lehrbuch, 6., durchgesehene Aufl., 2004
• Heuser: Lehrbuch der Analysis I, II   Teubner, Stuttgart, 1990
• Walter: Analysis 1, 2   Springer, 1999
• Dieudonné: Grundzüge der modernen Analysis   Viehweg, 1971

Am Ende des Semesters findet eine Klausur statt, deren Inhalt der Stoff aus Vorlesung und Übungen ist. Die Klausur findet am Samstag, den 04.02.2012, um 8.45 - 12.15 Uhr in den Hörsäle Chemie I-III und Physik I-III statt. Zum Erwerb eines Übungsscheines ist das Bestehen der Klausur oder Nachklausur notwendig. Für die Zulassung zur Klausur/Nachklausur müssen die Hälfte der maximal möglichen Punkte aller Übungsaufgaben erreicht werden.

Probeklausur 1 Probeklausur 2 Aufgaben in der Klausur werden von ähnlicher Art sein.

Prüfungsordnung Bachelor-Studiengang Mathematik

Dieses Vorlesungsskript ist als ein Arbeitsmittel für die Hörer der Vorlesung gedacht, und zwar als Sammlung der Definitionen, Formeln und Sätze der Analysis. Beweise sind nur in seltenen Fällen angegeben, z.B. wenn sie in der Vorlesung nicht vorgeführt werden oder wenn sie in ähnlicher Form nicht in der Literatur auffindbar sind.

Anmeldung, Einteilung in Übungsgruppen

Direkt zur Übungsblätter

Vorlesung	Datum	Themen	Literatur
1	13.10.2011	Motivation und Überblick, Körperaxiome	K2.1, W1.3
2	17.10.2011	Anordnungsaxiome, Rechenregeln, absolut Betrag	K2.2, W1.4
3	20.10.2011	Vollständigkeitsaxiom, Definition von R, N, Z, Q, Induktion	K2.3, W2.1-5
4	24.10.2011	Ganzzahlige Potenzen, Bernoulli-Ungleichung, Binomische Formel, Satz von Archimedes	K1.2,2.3, W2.11-15
5	27.10.2011	Satz von Eudoxus, Wohlordnungsprinzip, Gauss-Klammer, Dichtheit von Q in R, Division mit Rest, Existenz der k-ten Wurzel	K2.3, W2.11-15
6	31.10.2011	AGM-Ungleichung, Intervallschachtelung, Eulersche Zahl, Abzählbarkeit von Q, Überazählbarkeit von R	K2.4, W3.6-8
7	3.11.2011	Konvergenz von Folgen, Definitionen und Beispiele, Monotoniekriterium	K5.1-5.3, W4.1-7
8	7.11.2011	Komplexe Zahlen, geometrische Deutung, Formel von de Moivre	K3, W8.1-2
9	10.11.2011	Einheitswurzeln, algebraische Gleichungen	K3, W8.3-4
10	14.11.2011	Rechnen mit konvergenten Folgen, Vergleichsprinzip, Einschließungsprinzip, Häufungswerte, Teilfolge	K5.2-3, W4.1-7
11	17.11.2011	Der Satz von Bolzano-Weierstraß und das Cauchy-Kriterium, Erweiterte reelle Gerade, Konvergenz komplexer Folgen	K5.5-5.6, W4.12-16
12	21.11.2011	Der Satz von Bolzano-Weierstraß und das Cauchy-Kriterium in C, Erweiterte Zahlenebene, Definition und Beispiele von Reihen, Cauchy-, Majoranten-, Monotonie-, Leibniz-Kriterium	K5.6-5.7,6.1, W8.6-7
13	24.11.2011	Absolute Konvergenz, Wurzel- und Quotientenkriterium, Cauchy-Produkt, Einführung und Funktionalgleichung der Exponentialfunktion	K6.2-3,8.1 W5.8-9,5.15
14	28.11.2011	Elementare Eigenschaften der Exponentialfunktion, Potenzreihen, Abelsches Konvergenzlemma, Konvergenzsatz, Konvergenzradius, Cauchy-Hadamard Formel	K6.4,8.1 W7.6
15	01.12.2011	Sinus- und Cosinusreihe und Funktion, Eulersche Formel, epsilon-delta Definition der Stetigkeit, Folgenkriterium für Stetigkeit, Lipschitz-Stetigkeit, Rechenregeln für stetige Funktionen	K7.1-2 W6.1-5
16	05.12.2011	Kompositionsregel für stetige Funktionen, Stetigkeit der Umkehrfunktion, Supremumsnorm, Normale Konvergenz	K7.2-3 W6.6
17	05.12.2011	Kompositionsregel für stetige Funktionen, Stetigkeit der Umkehrfunktion, Supremumsnorm, Normale Konvergenz	K7.2-3 W6.6
18	08.12.2011	Stetigkeit der Potenzreihen, Zwischenwertsatz, Definition des Logarithmus	K7.4 W6.10-11
19	12.12.2011	Satz von Minimum und Maximum, stetige Fortsetzung, Grenzwerte	K7.5-7 W6.8
20	14.12.2011	Folgenkriterium für Grenzwerte, uneigentliche Grenzwerte, Vergleichsprinzip, Variabel Substitution	K7.5-7 W6.12
21	19.12.2011	einseitige Grenzwerte, Definition der Differenzierbarkeit, Summen- und Produktregel	K9.1-2, W10.1-5
22	22.12.2011	Kettenregel, Ableitung der Umkehrfunktion, Satz von Fermat, Satz von Rolle	K9.2-3 W10.6-7
23	09.01.2012	Mittelwertsatz, Eindeutigkeitssatz, Monotoniekriterium, Bestimmung der lokalen Extrema	K9.3 W10.10
24	12.01.2012	Definition der Zahl pi, trigonometrische Funktionen un Arcusfunktionen	K8.7-8 W7.16-17
25	16.01.2012	Integral der Treppenfunktionen und Regelfunktionen	K11.1-3
26	19.01.2012	Stammfunktionen, Hauptsatz, partielle Integration, Substitutionsregel	K11.4-5
27	23.01.2012	Charakterisierung der Regelfunktionen, Mittelwertsatz der Integralrechnung, Taylorformel mit Integralrestglied	K11.2,14.1
28	26.01.2012	Taylorformel mit Schlömilch-, Lagrange-, Cauchy-Restglied, Taylor-Young Formel, hinreichendes Kriterium für Extrema	K14.1
29	30.01.2012	Uneigentliche Integrale, Beispiele, Cauchy-Kriterium für Funktionen-Grenzwerte, Majorantenkriterium	K11.9
30	02.02.2012	Grenzwert-Kriterium für uneigentliche Integrale, Gamma-Funktion, Integralkriterium für Reihenkonvergenz, die Regel von l'Hospital	K11.9, 9.4