Sprechstunde: nach Vereinbarung (Raum 222)

Zuständiger Assistent: Christian Evers

Diese Vorlesung ist als Einführung in die Topologie und Geometrie gedacht und kann im Anschluß an die Anfängervorlesungen gehört werden.

Ich werde mich vor allem an dem Buch von Schwartz und dem Skript von tom Dieck orientieren. Daher erscheint es opportun, den Göttinger Vorlesungskommentar des Jahres 1987 zu zitieren:

"Flächen treten in fast allen Bereichen der Mathematik auf – Topologie, Differentialgeometrie, Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Algebraische Geometrie, Zahlentheorie, Mathematische Physik, ... Der primär geometrische Charakter der Flächen durchdringt dabei alle diese Gebiete. Die Theorie der Flächen begann mit den Arbeiten von Gauß zur Differentialgeometrie und nichteuklidischen Geometrie, führte über die kombinatorisch-topologische Klassifikation und die Riemannschen Flächen der Funktionentheorie, über die Teichmüller-Theorie bis zu den jüngsten Forschungen von Thurston über die Dynamik von Diffeomorphismen.

Ich kann Ihnen versprechen, daß diese Vorlesung über Flächen zu den anregendsten gehören wird, die Sie je in Göttingen hören können."

Ob diese Vorlesung auch zu den anregendsten an dieser Universität gehören wird, sei dem Urteil der geschätzten Hörerschaft überlassen.

Literatur:

M. A. Armstrong: Basic Topology, Springer, 1983.
T. tom Dieck: Flächen, Vorlesung gehalten im SS 1987 an der Universität Göttingen.
T. tom Dieck: Topologie, de Gruyter, 2000.
K. Jänich: Topologie, Springer, 1996.
G. Laures, M. Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag, 2009.
R. E. Schwartz: Mostly Surfaces, American Mathematical Society, 2011.

Zulassungsvoraussetzung zur Abschlußprüfung: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.

Übungen: Siehe hier.


Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)

Inhaltsverzeichnis:

1. Beispiele von Flächen

2. Zusammenhang
2.1. Definition des Zusammenhangs
2.2. Anwendungen

3. Quotiententopologie
3.1. Quotientenräume
3.2. Kompaktheit und Hausdorff-Eigenschaft
3.3. Topologische Gruppen und homogene Räume
3.4. Orbiträume
3.5. Zusammenschlagen eines Teilraumes
3.6. Zusammenkleben von Räumen

4. Die Klassifikation von Flächen
4.1. Definition von Flächen
4.2. Die verbundene Summe
4.3. Henkelzerlegungen

5. Homotopie und Fundamentalgruppe
5.1. Homotope Abbildungen
5.2. Konstruktion der Fundamentalgruppe
5.3. Bestimmung der Fundamentalgruppe
5.4. Endlich präsentierte Gruppen
5.5. Die Fundamentalgruppe von Flächen
5.6. Homotopietyp
5.7. Anwendungen

6. Euler-Charakteristik und verzweigte Überlagerungen
6.1. Die Euler-Charakteristik von Flächen
6.2. Der Eulersche Polyedersatz
6.3. Differenzierbare und Riemannsche Flächen
6.4. Verzweigte Überlagerungen und die Riemann-Hurwitz-Formel
6.5. Die Fermat-Kurve in CP²
6.6. Der Satz von Hurwitz
6.7. Der Satz vom Igel und der Poincaré-Hopfsche Indexsatz

7. Hyperbolische Geometrie
7.1. Möbius-Transformationen
7.2. Das Halbebenen- und das Scheiben-Modell
7.3. Geodätische Polygone
7.4. Typologie der Isometrien
7.5. Hyperbolische Strukturen auf Flächen

H. Geiges, 4.7.13