Geometrische Topologie, Vorlesung und Übungen

H. Geiges

Wintersemester 2017/18

Vorlesung: Di, Mi 8-9:30 im Hörsaal des MI

Beginn: 17. Oktober



Sprechstunde: Di 15:30-16:30, Do 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 222)




Die Geometrische Topologie beschäftigt sich mit topologischen Fragen, die beim Studium spezieller Räume auftreten, hier insbesondere Flächen und 3-Mannigfaltigkeiten. Themen der Vorlesung sind: Knoten und Zöpfe, Heegaard-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten, Homöomorphismen von Flächen, verzweigte Überlagerungen, Chirurgie von 3-Mannigfaltigkeiten, Beschreibungen der Poincaré-Homologiesphäre (durch Chirurgie, Klempnerei, via Heegaard-Zerlegung, als Brieskorn-Mannigfaltigkeit, als Quotient der 3-Sphäre etc.). Vorausgesetzt werden die Grundvorlesungen und eine gewisse Vertrautheit mit der Fundamentalgruppe, aber keine homologischen Methoden aus der Algebraischen Topologie.

Literatur:

V. V. Prasolov, A. B. Sossinsky: Knots, Links, Braids and 3-Manifolds, AMS, 1997
D. Rolfsen: Knots and Links, Publish or Perish, 1976
P. Cromwell: Knots and Links, Cambridge University Press, 2004




Kriterium für die Zulassung zur Abschlußprüfung: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.

Übungen: Montags, 8:15 - 9:45 Uhr, Seminarraum 2 des Mathematischen Instituts.
Beginn: 23. Oktober

Die Abschlußprüfung findet mündlich statt. Ich biete Prüfungen bevorzugt in der Woche vom 19. bis 23. März an. Spätere Termine sind aber nach individueller Absprache auch möglich.

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)




Inhaltsverzeichnis:

0. Struktursätze für 3-Mannigfaltigkeiten

1. Knoten und Verschlingungen

2. Knotenpolynome
2.1. Das Kauffman-Polynom
2.2. Das Jones-Polynom

3. Zöpfe
3.1. Die Zopfgruppe
3.2. Zöpfe und Knoten
3.3. Reine Zöpfe und Homöomorphismen der 2-Scheibe

4. 3-Mannigfaltigkeiten
4.1. Top - PL - Diff
4.2. Heegaard-Zerlegung
4.3. Das Komplement des Kleeblatt-Knotens
4.4. Linsenräume

5. Homöomorphismen von Flächen -
    Chirurgiebeschreibung von 3-Mannigfaltigkeiten

6. Verzweigte Überlagerungen
6.1. Verzweigte Überlagerungen von Flächen - die Riemann-Hurwitz-Formel
6.2. Die Fermat-Kurve in der komplex projektiven Ebene
6.3. Verzweigte Überlagerungen von 3-Mannigfaltigkeiten

7. Dehn-Chirurgie von 3-Mannigfaltigkeiten
7.1. Der Chirurgie-Koeffizient
7.2. Chirurgie entlang des trivialen Knotens in der 3-Sphähre
7.3. Verschlingungszahlen und ganzzahlige Chirurgie
7.4. Modifikation von Chirurgie-Beschreibungen
7.5. Linsenräume und Kettenbrüche
7.6. Chirurgie-Beschreibung der Poincaré-Sphäre

8. Die allgegenwärtige Poincaré-Sphäre
8.1. Heegaard-Zerlegung
8.2. Klempnerei
8.3. Verzweigte Überlagerung
8.4. Seifert-Mannigfaltigkeiten

H. Geiges, 19.6.17