H. Geiges
Sommersemester 2021
Keine Präsenzveranstaltung
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zuständiger Assistent: Tilman Becker
Aktuell:
Die Übungsblätter finden Sie unten auf dieser Seite,
weitere Informationen und
Videos
auf der Übungsseite.
Es gibt keine Zoom-Vorlesungen.
Die Lernmaterialien für die Kalenderwoche werden jeweils am
Montag bereitgestellt;
das Übungsblatt am Dienstag.
In Praise of
Lectures (von Prof. T. W. Körner,
University of Cambridge)
Diese Vorlesung richtet sich an
Studenten, die schon Grundkenntnisse über Mannigfaltigkeiten
aus den Vorlesungen Analysis III oder Elementare Differentialgeometrie
mitbringen. Gleichwohl werden in dieser Einführung
in die Differentialgeometrie zunächst die lokalen Aspekte
betont, die sich auch ohne den Mannigfaltigkeitsbegriff studieren
lassen.
Ziel dieser Vorlesung ist es, diverse geometrische Strukturen auf
Mannigfaltigkeiten zu verstehen. Hierbei ist der Begriff
"geometrische Strukturen" weiter gefaßt als in
einer "klassischen" Einführung in die Differentialgeometrie,
bei der üblicherweise die Riemannsche Geometrie
im Vordergrund steht.
Riemannsche Metriken auf Mannnigfaltigkeiten sind die direkte
Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen der
in der elementaren Differentialgeometrie behandelten
ersten Fundamentalform von Flächen im dreidimensionalen Raum.
Wie dort werden Begriffe wie Geodätische, Parallelismus,
Krümmung und Isometrien behandelt.
Daneben werden in dieser Vorlesung aber auch Symplektische
Strukturen und Kontaktstrukturen eingeführt.
Im Gegensatz zu Riemannschen Metriken haben diese Strukturen
keine lokalen Invarianten wie die Krümmung. Daher sind
diese Strukturen eher von einem global topologischen
Standpunkt aus interessant. Dennoch ist auch ihre lokale
Geometrie von Interesse, zum Beispiel das Studium
von Flüssen, die diese Strukturen erhalten.
Historisch tauchen symplektische Strukturen zuerst im Kontext
der Hamiltonschen Formulierung der klassischen Mechanik auf.
Kontaktstrukturen haben ihren Ursprung in der geometrischen
Optik von Huygens.
Erforderliche Vorkenntnisse: Anfängervorlesungen,
Grundkenntnisse über Mannigfaltigkeiten und
Geometrie von Flächen aus Analysis III und Elementare
Differentialgeometrie.
Literatur:
H. Geiges: An Introduction to Contact Topology,
Cambridge University Press, 2008.
J. M. Lee: Riemannian Manifolds - An Introduction to
Curvature, Springer, 1997.
M. Levi: Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal
Control, AMS, 2014.
D. McDuff, D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology,
The Other Place University Press, 2017.
A. McInerney: First Steps in Differential Geometry,
Springer, 2013.
Zulassungsvoraussetzung zur Abschlußprüfung:
50% der Übungsaufgaben
sinnvoll bearbeitet.
Klausurtermine:
Dienstag, 3.8.21, 9:00-12:00, Chemie I-III
Dienstag, 28.9.21, 8:30-11:30, Physik I
Aufgrund der aktuellen Corona-Bestimmungen
werde ich die Vorlesung mündlich prüfen.
Die Prüfungen werden im Laufe des Septembers abgehalten.
Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)
Inhaltsverzeichnis:
1. Riemannsche Metriken
1.1. Definitionen
1.2. Das Tangentialbündel
1.3. Existenz Riemannscher Metriken
1.4. Der n-Torus
1.5. Die Räume En,
Sn und Hn
2. Zusammenhänge auf Vektorbündeln
2.1. Vektorbündel
2.2. Zusammenhänge
2.3. Existenz linearer Zusamenhänge
2.4. Kovariante Ableitung längs Kurven
2.5. Geodätische
2.6. Parallelverschiebung
3. Der Levi-Civita-Zusammenhang
3.1. Der Tangentialzusammenhang
3.2. Existenz und Eindeutigkeit
3.3. Riemannsche Geodätische und die Exponentialabbildung
3.4. Normalkoordinaten
3.5. Geodätische in En,
Sn und Hn
4. Krümmung
4.1. Lokale Flüsse und die Lie-Klammer
4.2. Der Krümmungstensor
4.3. Symmetrien des Krümmungstensors
4.4. Die Schnittkrümmung
4.5. Kovariante Ableitung von Tensoren
4.6. Der Satz von Schur über Raumformen
4.7. Ricci- und Skalarkrümmung
4.8. Einstein-Mannigfaltigkeiten
5. Integrabilität
5.1. Distributionen und Integralmannigfaltigkeiten
5.2. Der Satz von Frobenius
5.3. Flache Riemannsche Mannigfaltigkeiten
5.4. Hyperebenenfelder
5.5. Berührordnung von Kurven
5.6. Schmiegflächen von Ebenenfeldern
6. Grundlagen der Kontaktgeometrie
6.1. Kontaktstrukturen und Reeb-Vektorfelder
6.2. Der Raum der Kontaktelemente
6.3. Legendre-Kurven
6.4. Das Huygenssche Prinzip
6.5. Kontaktvektorfelder und Hamilton-Funktionen
6.6. Differentialgleichungen und Kontaktelemente
6.7. Gray-Stabilität, Moser-Trick und der Satz von Darboux
7. Grundlagen der Symplektischen Geometrie
7.1. Symplektische Lineare Algebra
7.2. Kompatible komplexe Strukturen
7.3. Symplektische Mannigfaltigkeiten
7.4. Vektorfelder auf symplektischen Mannigfaltigkeiten
7.5. Der Satz von Darboux
8. Variationelle Aspekte
8.1. Die Euler-Lagrange-Gleichung
8.2. Riemannsche Geodätische und die Variation
von Bogenlänge und Energie
8.3. Vom Lagrange- zum Hamilton-Formalismus
8.4. Symplektische Wirkung und das Hamiltonsche Prinzip
8.5. Der Reeb-Fluß und der geodätische Fluß
H. Geiges, 18.12.20