H. Geiges
Sommersemester 2017
Vorlesung: Di, Do 8:00-9:30 im Hörsaal des MI
Sprechstunde: Di 15:30-16:30, Do 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 222)
Zuständiger Assistent: Christian Evers (Raum 207)
Die folgenden Abschnitte sind für die Klausur
(und entsprechend für die mündlichen Prüfungen
und die Nachklausur)
nicht
relevant: 5.2, 8.3, 8.4, 9. Aus Abschnitt 4.3 wird nur die
Definition und die Existenz der simplizialen Approximation
benötigt. Aus Abschnitt 6.2 (bzw. der alternativen Behandlung in der
Vorlesung) sollte eine Darstellung von Flächen
mittels Randidentifizierungen eines Polygons oder einer
Henkelzerlegung bekannt sein. Die Klausur für 6 Leistungspunkte
umfaßt die Kapitel 1 bis 6 (mit den genannten Ausnahmen).
Die Vorlesung Topologie liefert eine elementare Einführung
in die Methoden und Ergebnisse der Algebraischen Topologie und
richtet sich an Studenten ab dem 4. Semester. Ziel der
Vorlesung ist insbesondere die Entwicklung der simplizialen
Homologietheorie. Die grundsätzliche Idee der Algebraischen
Topologie besteht darin, geometrische Objekte (wie z.B. Flächen)
dadurch zu klassifizieren, daß man ihnen algebraische
Invarianten (Zahlen, Gruppen,...) zuordnet, die man
leichter unterscheiden kann.
Laut Frank Adams, einem der bedeutendsten Topologen des letzten
Jahrhunderts, sieht ein Kurs in Homologietheorie typischerweise
wie folgt aus. 13 Wochen: Wie baut man ein Auto? --- Eine Woche:
Warum ist es gut, ein Auto zu haben? Weil man dann von A nach B
fahren kann.
In dieser Einführung in die Homologietheorie sollen dagegen von
Anfang an geometrische Anwendungen mit im Vordergrund stehen.
Zunächst behandeln wir grundlegende Begriffe wie
Überlagerungen, Homotopie und Fundamentalgruppe von
topologischen Räumen.
Danach wird die simpliziale Homologietheorie entwickelt, mit
Anwendungen (u.a.) aus der geometrischen Topologie (Klassifikation
von Flächen), aus der Gastronomie (Schinken-Sandwich-Theorem)
und der Meteorologie: Auf der Erde gibt es stets zwei antipodale
Punkte, an denen die gleiche Temperatur und Luftfeuchtigkeit
herrschen.
Erforderliche Vorkenntnisse: Etwas mengentheoretische Topologie
(topologischer Raum, Stetigkeit, Kompaktheit) und elementare Algebra (Gruppen,
Ringe, Homomorphismen) aus den Anfängervorlesungen
Analysis I, II und Lineare Algebra I, II.
Literatur:
M.A. Armstrong: Basic Topology, Springer, 1983.
T. tom Dieck: Topologie, 2. Auflage, de Gruyter, 2000.
H. Geiges: How to depict 5-dimensional manifolds,
Jahresbericht der DMV, 2017.
K. Jänich:Topologie, Springer, 1996.
W.S. Massey: A Basic Course in Algebraic Topology, Springer, 1991.
Zulassungsvoraussetzung zur Abschlußklausur:
50% der Übungsaufgaben
sinnvoll bearbeitet.
Hinweis für Nicht-Mathematiker:
Für das Studium Integrale kann man bei dieser Vorlesung
6 Leistungspunkte erhalten nur durch Bearbeiten von Übungsaufgaben.
Die Klausur findet am Dienstag, den 8. August 2017
von 9:00 bis 12:00 Uhr im
Hörsaal I der Chemie statt,
die Nachklausur am Montag, den 25. September 2017 von 9:00 bis
12:00 Uhr
im Übungsraum 1 des Mathematischen Instituts.
Übungen: Hier finden Sie die Einteilung der
Übungsgruppen.
Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Inhaltsverzeichnis:
1. Zusammenhang
1.1. Definition des Zusammenhangs
1.2. Anwendungen
2. Quotiententopologie
2.1. Quotientenräume
2.2. Topologische Gruppen und homogene Räume
2.3. Orbiträume
2.4. Zusammenschlagen eines Teilraumes
2.5. Zusammenkleben von Räumen
3. Homotopie und Fundamentalgruppe
3.1. Homotope Abbildungen
3.2. Konstruktion der Fundamentalgruppe
3.3. Bestimmung der Fundamentalgruppe
3.4. Homotopietyp
3.5. Anwendungen
4. Simplizialkomplexe
4.1. Triangulierung
4.2. Baryzentrische Unterteilung
4.3. Simpliziale Approximation
4.4. Der Brouwersche Fixpunktsatz
5. Simplizialkomplexe und Fundamentalgruppe
5.1. Endlich präsentierte Gruppen
5.2. Die Kantengruppe eines Komplexes
5.3. Das Theorem von Seifert und van Kampen
6. Flächen
6.1. Der Klassifikationssatz
6.2. Normalform triangulierter Flächen
6.3. Die Fundamentalgruppe von Flächen
7. Simpliziale Homologie
7.1. Definition der Homologiegruppen
7.2. Erste Berechnungen von Homologiegruppen
7.3. Kettenabbildungen
7.4. Topologische Invarianz der Homologie
7.5. Die Mayer-Vietoris-Sequenz
8. Abbildungsgrad, Lefschetz-Zahl und Euler-Charakteristik
8.1. Abbildungen von Sphären
8.2. Die Euler-Poincaré-Formel
8.3. Der Satz von Borsuk-Ulam
8.4. Der Fixpunktsatz von Lefschetz
9. Zugabe: Kohomologie und die Dimension reeller Divisionsalgebren
H. Geiges, 14.12.16