Sprechstunde: nach Vereinbarung

Symplektische Geometrie ist die Sprache, die zur mathematischen Beschreibung der klassischen Mechanik, insbesondere der Hamiltonschen dynamischen Systeme, entwickelt wurde. So ist beispielsweise der Satz von Liouville über die Volumentreue des Hamiltonschen Flusses im Phasenraum genaugenommen eine Aussage über die Erhaltung einer symplektischen Form.

In einer bahnbrechenden Arbeit aus dem Jahr 1985 erkannte Gromov, daß symplektische Abbildungen (wie der Hamiltonsche Fluß) Starrheitsphänomene zeigen, die keine Entsprechung bei lediglich volumenerhaltenden Abbildungen haben. Aus dieser Beobachtung, und der dazu entwickelten Theorie der pseudoholomorphen Kurven, entwickelte sich das Gebiet der Symplektischen Topologie als eigenständige mathematische Disziplin.

In dieser Vorlesung sollen die Grundlagen der symplektischen Geometrie entwickelt werden. Der Schwerpunkt wird dabei auf topologischen Aspekten liegen, wie der Konstruktion symplektischer Mannigfaltigkeiten. Vorausgesetzt werden gute Kenntnisse über Mannigfaltigkeiten, Differentialformen und de-Rham-Kohomologie. Weiterführende differentialtopologische und algebraisch topologische Kenntnisse sind hilfreich; die relevanten Techniken werden aber gegebenenfalls behutsam eingeführt.

Literatur:
A. Cannas da Silva: Lectures on Symplectic Geometry, Springer-Verlag, 2001.
H. Geiges: An Introduction to Contact Topology, Cambridge University Press, 2008.
H. Geiges, K. Zehmisch: A Course on Holomorphic Discs, Buch in Vorbereitung.
D. McDuff, D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (3. Auflage), Oxford University Press, 2017.

Scheinkriterium: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.

Übungen: Dienstag, 12:00 - 13:30, Übungsraum 1 (Keller, MI); Beginn 11.4.23

Übungsblätter:
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Inhaltsverzeichnis: (im Aufbau)

1. Ursprünge der symplektischen Topologie
1.1. Der Satz von Liouville in der Hamiltonschen Mechanik
1.2. Der Nichtquetschungssatz von Gromov

2. Symplektische Lineare Algebra
2.1. Symplektische Vektorräume
2.2. Kompatible komplexe Strukturen

3. Symplektische Mannigfaltigkeiten
3.1. Definitionen und Beispiele
3.2. Vektorfelder auf symplektischen Mannigfaltigkeiten
3.3. Hyperflächen vom Kontakttyp
3.4. Lagrange-Untermannigfaltigkeiten von T^*B

4. Lokale Theorie
4.1. Isotopien und Flüsse
4.2. Moser-Trick und der Satz von Darboux
4.3. Moser-Stabilität
4.4. Umgebungssätze

5. Konstruktionen symplektischer Mannigfaltigkeiten
5.1. Der komplex-projektive Raum
5.2. Symplektische Reduktion
5.3. Symplektische Bündel
5.4. Aufblasen
5.5. Symplektische Schnitte
5.6. Faserverbundene Summe

H. Geiges, 25.11.22