Sprechstunde: Mi, Do 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 208)

Diese Vorlesung richtet sich an Studenten mit soliden Grundkenntnissen in Geometrie und Topologie, insbesondere auch an Doktoranden des Graduiertenkollegs Globale Strukturen in Geometrie und Analysis, sowie an Mediziner, die solche Operationsergebnisse angesichts des maroden Gesundheitssystems zufriedenstellend finden. Chirurgietheorie ist eine allgemeine Methode zur Klassifikation von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, beginnend mit der Enumeration exotischer differenzierbarer Strukturen auf Sphären durch Kervaire-Milnor. Gleichzeitig ist Chirurgie aber auch eine wichtige Methode, um Mannigfaltigkeiten mit gewissen geometrischen Strukturen zu konstruieren (z.B. Kontaktstrukturen, Riemannsche Metriken mit positiver Skalarkrümmung). Beide Aspekte sollen in dieser Vorlesung behandelt werden.

Literatur:
H. Geiges: An Introduction to Contact Topology, in Vorbereitung.
R. E. Gompf, A. I. Stipsicz: 4-Manifolds and Kirby Calculus, American Mathematical Society, 1999.
A. A. Kosinski: Differential Manifolds, Academic Press, 1993.
W. Lück: A Basic Introduction to Surgery Theory, in: Topology of High-Dimensional Manifolds (Trieste, 2001),
ICTP Lecture Notes 9, Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste, 2002.
A. Ranicki: Algebraic and Geometric Surgery, Oxford University Press, 2002.

Scheinkriterium: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.

Übungen:

Zuständiger Assistent und Übungsleiter: Bijan Sahamie (Raum 223)

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (ps)
Übungsblatt 2 (ps)
Übungsblatt 3 (ps)
Übungsblatt 4 (ps)
Übungsblatt 5 (ps)
Übungsblatt 6 (ps)
Übungsblatt 7 (ps)
Übungsblatt 8 (ps)
Übungsblatt 9 (ps)

Inhaltsverzeichnis:

1. Vom Sinn und Zweck der Chirurgie
1.1. Klassifikation von Mannigfaltigkeiten
1.2. Geometrische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten

2. Chirurgie und Henkelkörper
2.1. Beispiele
2.2. Henkelzerlegungen
2.3. Dimension 3 - Heegaard-Diagramme
2.4. Dimension 4 - Kirby-Diagramme
2.5. Homologie von Henkelkörpern
2.6. Beispiel: 4-dimensionale 2-Henkelkörper

3. Kobordismen
3.1. Kobordismengruppen
3.2. Der h-Kobordismussatz
3.3. Beweis der Poincaré-Vermutung

4. Chirurgie und positive Skalarkrümmung
4.1. Krümmungsbegriffe
4.2. Beweis des Satzes von Gromov-Lawson
4.3. Anwendungen auf Spin-/nicht-Spin-Mannigfaltigkeiten

5. Chirurgie und Kontaktstrukturen
5.1. Grundlagen der Kontaktgeometrie
5.2. Kontaktchirurgie 1
5.3. Rahmungen von Legendre-Knoten
5.4. Kontaktchirurgie 2
5.5. Eine Chirurgie-Darstellung 3-dimensionaler Kontaktmannigfaltigkeiten

H. Geiges, 18.6.07