Funktionentheorie, Vorlesung und Übungen

H. Geiges

Sommersemester 2010

Vorlesung: Mo, Do 8-10 in C



Sprechstunde: Mo, Do 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 208)
Sprechstunde Kai Zehmisch: Mi 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 223)


Mit Funktionentheorie bezeichnet man traditionell das Studium von komplexwertigen Funktionen, die auf Gebieten der komplexen Ebene definiert und überall komplex differenzierbar sind. Diese sogenannten holomorphen Funktionen sind einerseits sehr gewöhnlich: die wichtigsten Funktionen der rellen Analysis (wie z.B. Polynome, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktion und Logarithmus) besitzen eine natürliche Erweiterung zu einer holomorphen Funktion. Andererseits treten ungewöhnliche neue Phänomene auf. So sind komplex differenzierbare Funktionen automatisch unendlich oft differenzierbar, und ihr Werteverhalten ist schon durch das Verhalten in einer kleinen offenen Menge weitgehend festgelegt. Noch erstaunlicher ist, daß sich manche Fragen der reellen Analysis erst durch den Umweg über eine holomorphe Erweiterung beantworten lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Berechnung gewisser uneigentlicher Integrale.

Kenntnisse in Funktionentheorie sind ein unverzichtbarer Bestandteil mathematischer Bildung, auch für Physiker. Methoden und Ergebnisse der komplexen Analysis finden Anwendungen in vielen anderen Bereichen der Mathematik (z.B. konforme Abbildungen in der Geometrie) und in der Physik (ebene Strömungen, Wärmeleitungsgleichung etc.).

Literatur:

W. Fischer, I. Lieb: Funktionentheorie, Vieweg, 1985.
K. Jänich: Funktionentheorie, Springer, 1999.
T. Needham: Visual Complex Analysis, Oxford University Press, 1997.

Mein Manuskript wird jeweils nach der Vorlesung in der Bibliothek abgeheftet.


Termin der Nachklausur: Fr 8.10.10, 13:30-16:30, Physik I
Bitte bringen Sie zur Klausur Ihren Studentenausweis und einen Lichtbildausweis mit. Ihr Mobiltelefon können Sie zu Hause lassen.
Papier wird gestellt; Sie benötigen nur ein dokumentenechtes Schreibgerät.



Bitte benutzen Sie das Ihnen entsprechende Formular zur Anmeldung bis zum 23. September. Die Anmeldung ist obligatorisch für Studenten aller Studiengänge.
Falls Sie nicht in Köln sind, können Sie das Formular auch per Post an Dr. Kai Zehmisch schicken.
Anmeldeformular für Baccalaurei
Anmeldeformular für Nicht-Baccalaurei
Abmeldeformular




Zulassungsvoraussetzung: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet. Klausurzulassungen von anderen Dozenten sind weiter gültig; bitte sorgen Sie sich zu gegebenem Zeitpunkt um eine informelle Bestätigung des entsprechenden Dozenten. Die Übungsblätter werden donnerstags ausgegeben.

Studium Integrale (für Nicht-Mathematiker): 6 LP nur für das Bearbeiten der Übungsaufgaben.




Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)




Inhaltsverzeichnis:

1. Holomorphe Funktionen

1.1. Komplexe Differenzierbarkeit
1.2. Potenzreihen
1.3. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

2. Der Cauchysche Integralsatz und Folgerungen
2.1. Kurvenintegrale
2.2. Der Cauchysche Integralsatz
2.3. Die Cauchy-Formel und der Potenzreihenentwicklungssatz
2.4. Holomorphiekriterien
2.5. Nullstellen holomorpher Funktionen
2.6. Identitätssatz, Gebietstreue, Maximumprinzip

3. Isolierte Singularitäten
3.1. Drei Typen isolierter Singularitäten
3.2. Meromorphe Funktionen und die Riemannsche Zahlensphähre
3.3. Laurentreihen
3.4. Charakterisierung isolierter Singularitäten
3.5. Automorphismengruppen

4. Analytische Fortsetzung
4.1. Exponentialfunktion und Logarithmus
4.2. Analytische Fortsetzung längs Kreisketten
4.3. Analytische Fortsetzung längs Kurven
4.4. Analytische Fortsetzung und Kurvenintegrale
4.5. Homotopie und Fundamentalgruppe
4.6. Der Monodromiesatz

5. Die Umlaufzahlversion des Cauchyschen Integralsatzes
5.1. Die Umlaufzahl
5.2. Der Cauchysche Integralsatz

6. Der Residuensatz
6.1. Residuen
6.2. Anwendungen des Residuensatzes in der reellen Analysis
6.3. Nullstellen, Polstellen und der Satz von Rouché

7. Konvergenzsätze

8. Der Riemannsche Abbildungssatz

9. Parerga und Paralipomena


H. Geiges, 14.7.10