H. Geiges
Sommersemester 2010
Vorlesung: Mo, Do 8-10 in C
Sprechstunde: Mo, Do 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 208)
Sprechstunde Kai Zehmisch: Mi 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 223)
Mit Funktionentheorie bezeichnet man traditionell das
Studium von komplexwertigen Funktionen, die auf Gebieten der
komplexen Ebene definiert und überall komplex differenzierbar sind.
Diese sogenannten holomorphen
Funktionen sind einerseits sehr gewöhnlich:
die wichtigsten Funktionen der rellen Analysis (wie z.B. Polynome,
trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktion und Logarithmus)
besitzen eine natürliche Erweiterung zu einer
holomorphen Funktion. Andererseits treten ungewöhnliche
neue Phänomene auf. So sind komplex differenzierbare
Funktionen automatisch unendlich oft differenzierbar, und ihr
Werteverhalten ist schon durch das Verhalten in einer kleinen
offenen Menge weitgehend festgelegt. Noch erstaunlicher ist,
daß sich manche Fragen der reellen Analysis
erst durch den Umweg über eine holomorphe
Erweiterung beantworten lassen. Ein Beispiel hierfür ist
die Berechnung gewisser uneigentlicher Integrale.
Kenntnisse in Funktionentheorie sind ein unverzichtbarer
Bestandteil mathematischer Bildung, auch für
Physiker. Methoden und Ergebnisse der komplexen Analysis
finden Anwendungen in vielen anderen Bereichen der Mathematik
(z.B. konforme Abbildungen in der Geometrie) und in der
Physik (ebene Strömungen, Wärmeleitungsgleichung
etc.).
Literatur:
W. Fischer, I. Lieb: Funktionentheorie, Vieweg, 1985.
K. Jänich: Funktionentheorie, Springer, 1999.
T. Needham: Visual Complex Analysis, Oxford University Press, 1997.
Mein Manuskript wird jeweils nach der Vorlesung in
der Bibliothek abgeheftet.
Termin der Nachklausur: Fr 8.10.10, 13:30-16:30, Physik I
Bitte bringen Sie zur Klausur Ihren
Studentenausweis und einen Lichtbildausweis
mit. Ihr Mobiltelefon können Sie zu Hause lassen.
Papier wird gestellt; Sie benötigen nur ein
dokumentenechtes Schreibgerät.
Bitte benutzen Sie das Ihnen entsprechende Formular zur Anmeldung
bis zum 23. September.
Die Anmeldung ist obligatorisch für
Studenten aller Studiengänge.
Falls Sie nicht in Köln sind, können Sie das Formular
auch per Post an Dr. Kai Zehmisch schicken.
Anmeldeformular für Baccalaurei
Anmeldeformular für Nicht-Baccalaurei
Abmeldeformular
Zulassungsvoraussetzung: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll
bearbeitet. Klausurzulassungen von anderen Dozenten sind weiter
gültig; bitte sorgen Sie sich zu gegebenem Zeitpunkt um
eine informelle Bestätigung des entsprechenden Dozenten. Die
Übungsblätter werden donnerstags ausgegeben.
Studium Integrale (für Nicht-Mathematiker): 6 LP nur für
das Bearbeiten der Übungsaufgaben.
Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)
Inhaltsverzeichnis:
1. Holomorphe Funktionen
1.1. Komplexe Differenzierbarkeit
1.2. Potenzreihen
1.3. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
2. Der Cauchysche Integralsatz und Folgerungen
2.1. Kurvenintegrale
2.2. Der Cauchysche Integralsatz
2.3. Die Cauchy-Formel und der Potenzreihenentwicklungssatz
2.4. Holomorphiekriterien
2.5. Nullstellen holomorpher Funktionen
2.6. Identitätssatz, Gebietstreue, Maximumprinzip
3. Isolierte Singularitäten
3.1. Drei Typen isolierter Singularitäten
3.2. Meromorphe Funktionen und die Riemannsche Zahlensphähre
3.3. Laurentreihen
3.4. Charakterisierung isolierter Singularitäten
3.5. Automorphismengruppen
4. Analytische Fortsetzung
4.1. Exponentialfunktion und Logarithmus
4.2. Analytische Fortsetzung längs Kreisketten
4.3. Analytische Fortsetzung längs Kurven
4.4. Analytische Fortsetzung und Kurvenintegrale
4.5. Homotopie und Fundamentalgruppe
4.6. Der Monodromiesatz
5. Die Umlaufzahlversion des Cauchyschen Integralsatzes
5.1. Die Umlaufzahl
5.2. Der Cauchysche Integralsatz
6. Der Residuensatz
6.1. Residuen
6.2. Anwendungen des Residuensatzes in der reellen Analysis
6.3. Nullstellen, Polstellen und der Satz von Rouché
7. Konvergenzsätze
8. Der Riemannsche Abbildungssatz
9. Parerga und Paralipomena
H. Geiges, 14.7.10