H. Geiges
Sommersemester 2011
Vorlesung: Di, Mi 8-10 im Hörsaal des Mathematischen Instituts
Sprechstunde: Mo, Mi 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 208)
Die Differentialtopologie studiert Mannigfaltigkeiten, d.h. lokal
euklidische Räume (mit gewissen weiteren Eigenschaften), und
Abbildungen zwischen diesen. Mannigfaltigkeiten sind in vielen
verschiedenen Gebieten von Bedeutung: als Lie-Gruppen in der
Algebra und Geometrie, als Raum-Zeit in der Relativitätstheorie,
als Phasenräume und Energieflächen in der Mechanik etc.
In diesen Anwendungen treten Mannigfaltigkeiten mit einer
zusätzlichen Struktur auf, wie etwa einer Riemannschen Metrik,
einem dynamischen System, oder einer symplektischen Struktur. Die
Differentialtopologie dagegen studiert Mannigfaltigkeiten an sich und
verwendet zusätzliche Strukturen allenfalls als Hilfsmittel.
Insbesondere sind die Fragen der Differentialtopologie
typischerweise globaler Natur.
In dieser Vorlesung sollen die grundlegenden Begriffe und Verfahren
der Differentialtopologie wie z.B. Transversalität und
Isotopieerweiterung behandelt werden. Darauf aufbauend
behandeln wir Struktursätze für Mannigfaltigkeiten
(Sphärensatz von Reeb, Chirurgie, offene Bücher) und deren
Anwendungen (Konstruktion exotischer Sphären, Konstruktion
geometrischer Strukturen wie z.B. Blätterungen und
Kontaktstrukturen).
Erforderliche Vorkenntnisse: Grundvorlesungen, Analysis III, mengentheoretische
Topologie im Umfang von Kapitel 1 im unten angegebenen Buch von Jänich
(üblicherweise in Analysis II behandelt).
Literatur:
D. Barden, C. Thomas:
An Introduction to Differential Manifolds, Imperial College Press.
Th. Bröcker, K. Jänich:
Einführung in die Differentialtopologie, Springer.
V. Guillemin, A. Pollack: Differential Topology, Prentice-Hall.
M.W. Hirsch: Differential Topology, Springer.
J.W. Milnor: Topology from the Differentiable Viewpoint, University
Press of Virginia.
Für die Grundlagen der mengentheoretischen Topologie:
K. Jänich: Topologie, Springer.
Für Bezüge zur theoretischen Physik:
M. Göckeler, T. Schücker: Differential Geometry,
Gauge Theories, and Gravity
Scheinkriterium: 50% der Übungsaufgaben
sinnvoll bearbeitet, Abschlußklausur.
Übungen: Do 16-17:30 S3 (Zehmisch), Fr 8:15-9:45 S1 (Dörner)
Zuständiger Assistent: Dr. Kai Zehmisch (Raum 223)
Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)
Inhaltsverzeichnis:
1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Abbildungen
1.1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten: Definitionen & Beispiele
1.2. Differenzierbare Abbildungen: Definitionen & Beispiele
1.3. Untermannigfaltigkeiten
-- Die orthogonale Gruppe
-- Der Fundamentalsatz der Algebra
1.4. Der Whitneysche Einbettungssatz
2. Der Tangentialraum und die Ableitung differenzierbarer
Abbildungen
2.1. Definition des Tangentialraumes
2.2. Das Differential einer differenzierbaren Abbildung
2.3. Vergleich der Definitionen des Algebraikers und des Geometers
2.4. Das Tangentialbündel
-- Der Satz von Sard
-- Der Whitneysche Einbettungssatz, zum zweiten
3. Partition der Eins
3.1. Parakompaktheit und gute Atlanten
3.2. Riemannsche Metriken
3.3. Konstruktion glatter Abbildungen und Approximationssätze
3.4. Anwendungen
-- Der Brouwersche Fixpunktsatz
-- Der Whitneysche Einbettungssatz, zum dritten
4. Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten
4.1. Dynamische Systeme
4.2. Kragen berandeter Mannigfaltigkeiten
4.3. Geodätische
5. Vektorbündel und Tubenumgebungen
5.1. Vektorbündel: Definitionen & Beispiele
5.2. Lineare Algebra für Vektorbündel
5.3. Tubenumgebungen
6. Isotopie
6.1. Isotopien und Diffeotopien
6.2. Diffeotopien als Flüsse
6.3. Ambiente Isotopien
6.4. Der Scheibensatz und Eindeutigkeit von Tubenumgebungen
7. Konstruktion von Mannigfaltigkeiten
7.1. Die verbundene Summe
7.2. Randverheftungen
7.3. Chirurgie
8. Offene Bücher
8.1. Definitionen und Beispiele
8.2. Offene Bücher auf 3-Mannigfaltigkeiten
8.3. Geometrische Strukturen auf offenen Büchern
H. Geiges, 1.7.11