Differentialtopologie, Vorlesung und Übungen

H. Geiges

Sommersemester 2011

Vorlesung: Di, Mi 8-10 im Hörsaal des Mathematischen Instituts



Sprechstunde: Mo, Mi 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 208)


Die Differentialtopologie studiert Mannigfaltigkeiten, d.h. lokal euklidische Räume (mit gewissen weiteren Eigenschaften), und Abbildungen zwischen diesen. Mannigfaltigkeiten sind in vielen verschiedenen Gebieten von Bedeutung: als Lie-Gruppen in der Algebra und Geometrie, als Raum-Zeit in der Relativitätstheorie, als Phasenräume und Energieflächen in der Mechanik etc. In diesen Anwendungen treten Mannigfaltigkeiten mit einer zusätzlichen Struktur auf, wie etwa einer Riemannschen Metrik, einem dynamischen System, oder einer symplektischen Struktur. Die Differentialtopologie dagegen studiert Mannigfaltigkeiten an sich und verwendet zusätzliche Strukturen allenfalls als Hilfsmittel. Insbesondere sind die Fragen der Differentialtopologie typischerweise globaler Natur.

In dieser Vorlesung sollen die grundlegenden Begriffe und Verfahren der Differentialtopologie wie z.B. Transversalität und Isotopieerweiterung behandelt werden. Darauf aufbauend behandeln wir Struktursätze für Mannigfaltigkeiten (Sphärensatz von Reeb, Chirurgie, offene Bücher) und deren Anwendungen (Konstruktion exotischer Sphären, Konstruktion geometrischer Strukturen wie z.B. Blätterungen und Kontaktstrukturen).

Erforderliche Vorkenntnisse: Grundvorlesungen, Analysis III, mengentheoretische Topologie im Umfang von Kapitel 1 im unten angegebenen Buch von Jänich (üblicherweise in Analysis II behandelt).

Literatur:
D. Barden, C. Thomas: An Introduction to Differential Manifolds, Imperial College Press.
Th. Bröcker, K. Jänich: Einführung in die Differentialtopologie, Springer.
V. Guillemin, A. Pollack: Differential Topology, Prentice-Hall.
M.W. Hirsch: Differential Topology, Springer.
J.W. Milnor: Topology from the Differentiable Viewpoint, University Press of Virginia.

Für die Grundlagen der mengentheoretischen Topologie:
K. Jänich: Topologie, Springer.

Für Bezüge zur theoretischen Physik:
M. Göckeler, T. Schücker: Differential Geometry, Gauge Theories, and Gravity





Scheinkriterium: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet, Abschlußklausur.

Übungen: Do 16-17:30 S3 (Zehmisch), Fr 8:15-9:45 S1 (Dörner)

Zuständiger Assistent: Dr. Kai Zehmisch (Raum 223)

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)




Inhaltsverzeichnis:

1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Abbildungen
1.1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten: Definitionen & Beispiele
1.2. Differenzierbare Abbildungen: Definitionen & Beispiele
1.3. Untermannigfaltigkeiten
-- Die orthogonale Gruppe
-- Der Fundamentalsatz der Algebra
1.4. Der Whitneysche Einbettungssatz

2. Der Tangentialraum und die Ableitung differenzierbarer Abbildungen
2.1. Definition des Tangentialraumes
2.2. Das Differential einer differenzierbaren Abbildung
2.3. Vergleich der Definitionen des Algebraikers und des Geometers
2.4. Das Tangentialbündel
-- Der Satz von Sard
-- Der Whitneysche Einbettungssatz, zum zweiten

3. Partition der Eins
3.1. Parakompaktheit und gute Atlanten
3.2. Riemannsche Metriken
3.3. Konstruktion glatter Abbildungen und Approximationssätze
3.4. Anwendungen
-- Der Brouwersche Fixpunktsatz
-- Der Whitneysche Einbettungssatz, zum dritten

4. Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten
4.1. Dynamische Systeme
4.2. Kragen berandeter Mannigfaltigkeiten
4.3. Geodätische

5. Vektorbündel und Tubenumgebungen
5.1. Vektorbündel: Definitionen & Beispiele
5.2. Lineare Algebra für Vektorbündel
5.3. Tubenumgebungen

6. Isotopie
6.1. Isotopien und Diffeotopien
6.2. Diffeotopien als Flüsse
6.3. Ambiente Isotopien
6.4. Der Scheibensatz und Eindeutigkeit von Tubenumgebungen

7. Konstruktion von Mannigfaltigkeiten
7.1. Die verbundene Summe
7.2. Randverheftungen
7.3. Chirurgie

8. Offene Bücher
8.1. Definitionen und Beispiele
8.2. Offene Bücher auf 3-Mannigfaltigkeiten
8.3. Geometrische Strukturen auf offenen Büchern

H. Geiges, 1.7.11