Sprechstunde: Di 15:30 - 16:30, Do 10:00 - 11:00

Zuständiger Assistent: Christian Evers

Aktuell: Die Nachklausuren für sechs bzw. neun Leistungspunkte werden beide am 5. April im Hörsaal I der Chemie geschrieben,
von 9:00 bis 11:00 bzw. von 9:00 bis 12:00 Uhr.
Die alphabetisch geordneten Sitzplätze finden Sie hinten (6 LP) bzw. vorne (9 LP) im Hörsaal.
Die Klausureinsicht für die Nachklausur findet statt am Freitag, den 7. April, von 14:00 bis 16:00 Uhr im Seminarraum 2 des MI.

In Praise of Lectures (von Prof. T. W. Körner, University of Cambridge)

Die Vorlesung Elementare Differentialgeometrie richtet sich an Studenten ab dem 3. Semester und ist auch im Rahmen des Lehramtsstudiums sehr zu empfehlen. Wir behandeln die klassische Theorie von Kurven und Flächen im dreidimensionalen Raum, wie sie von Carl Friedrich Gauß in seiner bahnbrechenden Arbeit Disquisitiones generales circa superficies curvas von 1827 entwickelt wurde. Im Zentrum steht die lokale und globale Geometrie von Flächen, zu deren Beschreibung verschiedene Krümmungsgrößen dienen. Damit kann man z.B. verstehen, warum es nicht möglich ist, exakte Karten der Erdoberfläche anzulegen. Der Begriff der Geodätischen, d.h. lokal kürzesten Wegen auf Flächen, spielt hier eine wichtige Rolle. Diese Kurven sind auch in der Physik von Bedeutung, etwa bei der Beschreibung von Lichtstrahlen in Modellen der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Ein herausragender Satz (lateinisch Theorema Egregium) behandelt die Tatsache, daß die zunächst extrinsisch - d.h. durch Bezug auf den umgebenden 3-dimensionalen Raum - definierte Gauß-Krümmung in Wirklichkeit eine intrinsische Größe ist, d.h. von "2-dimensionalen" Bewohnern der Fläche direkt bestimmt werden kann.

Mit dem Satz von Gauß-Bonnet wird dann das Zusammenspiel zwischen lokaler Geometrie und globaler Topologie von Flächen behandelt. Grob gesprochen besagt dieser Satz, daß man durch Messung der lokalen Krümmung überall auf der Fläche entscheiden kann, ob man sich etwa auf einer Sphäre oder einem Torus befindet.

Darüber hinaus werde ich Anwendungen differentialgeometrischer Methoden in der Himmelsmechanik behandeln.

Erforderliche Vorkenntnisse: Analysis I&II und Lineare Algebra I&II, oder Mathematik für Physiker und Lehramtsstudenten I&II

Literatur:
C. Bär: Elementare Differentialgeometrie, de Gruyter, 2001.
M. P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg, 1983.
P. Dombrowski: 150 years after Disquisitiones generales circa superficies curvas, Société Mathématique de France, 1979.
H. Geiges: Manuskript zur Vorlesung Elementare Differentialgeometrie, Wintersemester 2008/09 (in der Bibliothek des MI).
H. Geiges: The Geometry of Celestial Mechanics, Cambridge University Press, 2016.
R. S. Millman, G. D. Parker: Elements of Differential Geometry, Prentice Hall, 1977.

Zulassungsvoraussetzung zur Abschlußklausur: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.
Hinweis für Nicht-Mathematiker: Für das Studium Integrale kann man bei dieser Vorlesung 6 Leistungspunkte erhalten nur durch Bearbeiten von Übungsaufgaben.

Die Klausur findet am Dienstag, den 14. Februar 2017 von 9:00 bis 12:00 Uhr im Hörsaal I der Chemie statt, die Nachklausur am Mittwoch, den 5. April 2017 von 9:00 bis 12:00 Uhr, ebenfalls im Hörsaal I der Chemie.

Hier geht es zur Seite für den Übungsbetrieb.

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)

Inhaltsverzeichnis: (im Aufbau)

0. Überblick

1. Lokale Kurventheorie

2. Globale Theorie ebener Kurven - Der Umlaufsatz

3. Lokale Flächentheorie
3.1. Flächenstücke, Tangentialebene
3.2. Flächen, differenzierbare Funktionen
3.3. Die erste Fundamentalform
3.4. Normalkrümmung, geodätische Krümmung, Ableitungsgleichungen
3.5. Geodätische
3.6. Parallelismus
3.7. Die zweite Fundamentalform und die Weingarten-Abbildung
3.8. Krümmungsbegriffe
3.9. Minimalflächen
3.10. Isometrien
3.11. Riemannsche Krümmung und das Theorema Egregium

4. Globale Flächentheorie
4.1. Eine Charakterisierung der Sphäre
4.2. Geodätische Parallelkoordinaten
4.3. Der lokale Satz von Gauß-Bonnet
4.4. Euler-Charakteristik und der globale Satz von Gauß-Bonnet

5. Das Keplerproblem in der Himmelsmechanik
5.1. Drehimpuls und zweites Keplersches Gesetz
5.2. Energieerhaltung
5.3. Kegelschnitte
5.4. Das erste Keplersche Gesetz
5.5. Exzentrizität und Energie

6. Die Differentialgeometrie des Keplerproblems
6.1. Der Satz von Hamilton über den Geschwindigkeitskreis
6.2. Inversion und stereographische Projektion
6.3. Sphärische Geometrie und der Satz von Moser

7. Die projektive Geometrie des Keplerproblems
7.1. Pol und Polare
7.2. Dualität zwischen Kegelschnitten und Kreisen
7.3. Die projektive Ebene

8. Die Newton-Hooke-Dualität
8.1. Kraft und Krümmung
8.2. Dualität von Kraftgesetzen
8.3. Das Prinzip der kleinsten Wirkung
8.4. Die Arnold-Dualität

H. Geiges, 29.5.16