Elementare Differentialgeometrie, Vorlesung und Übungen

H. Geiges

Wintersemester 2020/21

Vorlesung: Mo, Di 14-15:30 im Hörsaal des MI



Sprechstunde: Di 15:30-16:30, Do 10-11 und nach Vereinbarung

Zuständige Assistenten: Tilman Becker, Laura Jaust




In Praise of Lectures (von Prof. T. W. Körner, University of Cambridge)


Die Vorlesung Elementare Differentialgeometrie richtet sich an Studenten ab dem 3. Semester und ist auch im Rahmen des Lehramtsstudiums sehr zu empfehlen. Wir behandeln die klassische Theorie von Kurven und Flächen im dreidimensionalen Raum, wie sie von Carl Friedrich Gauß in seiner bahnbrechenden Arbeit Disquisitiones generales circa superficies curvas von 1827 entwickelt wurde. Im Zentrum steht die lokale und globale Geometrie von Flächen, zu deren Beschreibung verschiedene Krümmungsgrößen dienen. Damit kann man z.B. verstehen, warum es nicht möglich ist, exakte Karten der Erdoberfläche anzulegen. Der Begriff der Geodätischen, d.h. lokal kürzesten Wegen auf Flächen, spielt hier eine wichtige Rolle. Diese Kurven sind auch in der Physik von Bedeutung, etwa bei der Beschreibung von Lichtstrahlen in Modellen der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Ein herausragender Satz (lateinisch Theorema Egregium) behandelt die Tatsache, daß die zunächst extrinsisch - d.h. durch Bezug auf den umgebenden 3-dimensionalen Raum - definierte Gauß-Krümmung in Wirklichkeit eine intrinsische Größe ist, d.h. von "2-dimensionalen" Bewohnern der Fläche direkt bestimmt werden kann.

Mit dem Satz von Gauß-Bonnet wird dann das Zusammenspiel zwischen lokaler Geometrie und globaler Topologie von Flächen behandelt. Grob gesprochen besagt dieser Satz, daß man durch Messung der lokalen Krümmung überall auf der Fläche entscheiden kann, ob man sich etwa auf einer Sphäre oder einem Torus befindet.

Darüber hinaus wird eine Einführung in die Theorie der Mannigfaltigkeiten gegeben, die von Riemann in seinem berühmten Habilitationsvortrag von 1854 angestoßen wurde. Diese Räume bilden die Grundlage für weite Teile der modernen Differentialgeometrie, Topologie und Physik.

Erforderliche Vorkenntnisse: Analysis I&II und Lineare Algebra I&II, oder Mathematik für das Lehramt I&II

Literatur:
C. Bär: Elementare Differentialgeometrie, de Gruyter, 2001.
M. P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg, 1983.
P. Dombrowski:150 years after Disquisitiones generales circa superficies curvas, Société Mathématique de France, 1979.
R. S. Millman, G. D. Parker: Elements of Differential Geometry, Prentice Hall, 1977.




Zulassungsvoraussetzung zur Abschlußklausur: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.
Hinweis für Nicht-Mathematiker: Für das Studium Integrale kann man bei dieser Vorlesung 6 Leistungspunkte erhalten nur durch Bearbeiten von Übungsaufgaben.

Klausurtermine:

Übungsblätter:




Inhaltsverzeichnis:

0. Überblick

1. Lokale Kurventheorie

2. Globale Theorie ebener Kurven - Der Umlaufsatz

3. Lokale Flächentheorie
3.1. Flächenstücke, Tangentialebene
3.2. Flächen, differenzierbare Funktionen
3.3. Die erste Fundamentalform
3.4. Normalkrümmung, geodätische Krümmung, Ableitungsgleichungen
3.5. Geodätische
3.6. Parallelismus
3.7. Die zweite Fundamentalform und die Weingarten-Abbildung
3.8. Krümmungsbegriffe
3.9. Minimalflächen
3.10. Isometrien
3.11. Riemannsche Krümmung und das Theorema Egregium

4. Globale Flächentheorie
4.1. Eine Charakterisierung der Sphäre
4.2. Geodätische Parallelkoordinaten
4.3. Der lokale Satz von Gauß-Bonnet
4.4. Euler-Charakteristik und der globale Satz von Gauß-Bonnet
4.5. Eiflächen
4.6. Vektorfelder auf Flächen - Der Poincaré-Hopfsche Indexsatz

5. Mannigfaltigkeiten
5.1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten: Definitionen & Beispiele
5.2. Der Tangentialraum
5.3. Vektorfelder und die Lie-Klammer
5.4. Integralkurven und die Lie-Ableitung
5.5. Kovariante Ableitung
5.6. Riemannsche Metriken und der Levi-Civita-Zusammenhang
5.7. Der Krümmungstensor

H. Geiges, 26.5.20