H. Geiges
Wintersemester 2010/11
Vorlesung: Mo, Di 14-15:30 im Hörsaal des MI
Sprechstunde: nach Vereinbarung (Raum 208)
Die Geometrische Topologie beschäftigt sich mit topologischen
Fragen, die beim Studium spezieller Räume auftreten, hier insbesondere
Flächen und 3-Mannigfaltigkeiten. Themen der Vorlesung sind:
Knoten und Zöpfe, Heegaard-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten,
Homöomorphismen von Flächen, verzweigte Überlagerungen,
Chirurgie von 3-Mannigfaltigkeiten, Beschreibungen der
Poincaré-Homologiesphäre
(durch Chirurgie, Klempnerei, via Heegaard-Zerlegung, als
Brieskorn-Mannigfaltigkeit, als Quotient der 3-Sphäre etc.).
Vorausgesetzt werden die Grundvorlesungen und eine gewisse Vertrautheit mit
der Fundamentalgruppe, aber keine homologischen Methoden aus der
Algebraischen Topologie.
Literatur:
V. V. Prasolov, A. B. Sossinsky:
Knots, Links, Braids and 3-Manifolds, AMS, 1997
D. Rolfsen: Knots and Links, Publish or Perish, 1976
P. Cromwell: Knots and Links, Cambridge University Press, 2004
Scheinkriterium: 50% der Übungsaufgaben
sinnvoll bearbeitet.
Übungen: Do 8:15-9:45, Seminarraum 3 (Container)
Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Inhaltsverzeichnis:
0. Struktursätze für 3-Mannigfaltigkeiten
1. Knoten und Verschlingungen
2. Knotenpolynome
2.1. Das Kauffman-Polynom
2.2. Das Jones-Polynom
3. Zöpfe
3.1. Die Zopfgruppe
3.2. Zöpfe und Knoten
3.3. Reine Zöpfe und Homöomorphismen der 2-Scheibe
4. 3-Mannigfaltigkeiten
4.1. Top - PL - Diff
4.2. Heegaard-Zerlegung
4.3. Das Komplement des Kleeblatt-Knotens
4.4. Linsenräume
5. Homöomorphismen von Flächen -
Chirurgiebeschreibung von 3-Mannigfaltigkeiten
6. Verzweigte Überlagerungen
6.1. Verzweigte Überlagerungen von Flächen - die
Riemann-Hurwitz-Formel
6.2. Die Fermat-Kurve in der komplex projektiven Ebene
6.3. Verzweigte Überlagerungen von 3-Mannigfaltigkeiten
7. Dehn-Chirurgie von 3-Mannigfaltigkeiten
7.1. Der Chirurgie-Koeffizient
7.2. Chirurgie entlang des trivialen Knotens in der 3-Sphähre
7.3. Verschlingungszahlen und ganzzahlige Chirurgie
7.4. Modifikation von Chirurgie-Beschreibungen
7.5. Linsenräume und Kettenbrüche
7.6. Chirurgie-Beschreibung der Poincaré-Sphäre
8. Die allgegenwärtige Poincaré-Sphäre
8.1. Heegaard-Zerlegung
8.2. Klempnerei
8.3. Verzweigte Überlagerung
8.4. Seifert-Mannigfaltigkeiten
H. Geiges, 2.7.10