Funktionentheorie, Vorlesung und Übungen

H. Geiges

Sommersemester 2020

Vorlesung: Mo, Mi 8-9:30 im Hörsaal C, Hörsaalgebäde

Beginn 6. April

Bis auf weiteres keine Präsenzveranstaltungen



Sprechstunde: Mo, Do 10-11

Zuständige Assistenten: Tilman Becker, Laura Jaust

Aktuell: Der Termin für die Nachklausur wurde jetzt bestätigt, allerdings hat sich die Zeit geändert
(der Tag bleibt wie früher kommuniziert): Donnerstag, 24.9.20, 9:00-12:00, Hörsaal C

Eine Besprechung der ersten Klausur findet am 15.9.20 per Zoom statt. Details auf der Übungsseite.

Der folgende Hinweis gilt unverändert für die 2. Klausur:
In der Klausur wird es neben "Rechenaufgaben" zu den denkbaren Themen (Singularitäten, Laurentreihen, Nullstellen zählen,
Residuensatz, ...) auch theoretische Fragen geben, die sich hauptsächlich auf Kapitel 2 der Vorlesung beziehen werden.
Aus Kapitel 4 sollten Sie in erster Linie den Logarithmus verstanden haben.
Aus Kapitel 7 ist allenfalls der Weierstraßsche Konvergenzsatz klausurrelevant.
Anlehnend an Kapitel 8 ist allenfalls klausurrelevant, wie man konkret biholomorphe Abbildungen zwischen gegebenen
Gebieten konstruiert. Andere Details aus Kapitel 8 werden nicht abgefragt.

Hier finden Sie das Buch Einführung in die Komplexe Analysis von Fischer und Lieb als eBook.
Sie haben freien Zugriff darauf, wenn Sie sich per VPN im Universitätsnetz anmelden;
eine Anleitung dazu finden Sie hier.
Diese Neufassung des unten genannten Buches Funktionentheorie der selben Autoren ist
sehr leserfreundlich und bestens geeignet als Begleitlektüre zum Skript.

Die Übungsblätter finden Sie unten auf dieser Seite, weitere Informationen und ergänzende Unterlagen auf der Übungsseite.




Mit Funktionentheorie bezeichnet man traditionell das Studium von komplexwertigen Funktionen, die auf Gebieten der komplexen Ebene definiert und überall komplex differenzierbar sind. Diese sogenannten holomorphen Funktionen sind einerseits sehr gewöhnlich: die wichtigsten Funktionen der rellen Analysis (wie z.B. Polynome, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktion und Logarithmus) besitzen eine natürliche Erweiterung zu einer holomorphen Funktion. Andererseits treten ungewöhnliche neue Phänomene auf. So sind komplex differenzierbare Funktionen automatisch unendlich oft differenzierbar, und ihr Werteverhalten ist schon durch das Verhalten in einer kleinen offenen Menge weitgehend festgelegt. Noch erstaunlicher ist, daß sich manche Fragen der reellen Analysis erst durch den Umweg über eine holomorphe Erweiterung beantworten lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Berechnung gewisser uneigentlicher Integrale.

Kenntnisse in Funktionentheorie sind ein unverzichtbarer Bestandteil mathematischer Bildung, auch für Physiker. Methoden und Ergebnisse der komplexen Analysis finden Anwendungen in vielen anderen Bereichen der Mathematik (z.B. konforme Abbildungen in der Geometrie) und in der Physik (ebene Strömungen, Wärmeleitungsgleichung etc.).

Literatur:
Ich hefte mein eigenes Konzept in einem Ordner in der Mathematischen Bibliothek ab, so daß Sie bei allfälligen Unklarheiten oder Versäumen der Vorlesung dort nachschlagen können.

Daneben empfehle ich folgende Bücher:

W. Fischer, I. Lieb: Funktionentheorie, Vieweg, 1985.
K. Jänich: Funktionentheorie, Springer, 1999.
T. Needham: Visual Complex Analysis, Oxford University Press, 1997.

Zulassungskriterium für die Abschlußklausur: 60% der "Bearbeitungspunkte" aus den regulären Übungsaufgaben; siehe dazu die Erläuterungen auf der Übungsseite.

Klausurtermine:
Samstag, 25.7.20, 9:00-12:00, Aula 1 (Hauptgebäude)
Donnerstag, 24.9.20, 9:00-12:00, Hörsaal C



Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)


Inhaltsverzeichnis:

1. Holomorphe Funktionen
1.1. Komplexe Differenzierbarkeit
1.2. Potenzreihen
1.3. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

2. Der Cauchysche Integralsatz und Folgerungen
2.1. Kurvenintegrale
2.2. Der Cauchysche Integralsatz
2.3. Die Cauchy-Formel und der Potenzreihenentwicklungssatz
2.4. Holomorphiekriterien
2.5. Nullstellen holomorpher Funktionen
2.6. Identitätssatz, Gebietstreue, Maximumprinzip

3. Isolierte Singularitäten
3.1. Drei Typen isolierter Singularitäten
3.2. Meromorphe Funktionen und die Riemannsche Zahlensphähre
3.3. Laurentreihen
3.4. Charakterisierung isolierter Singularitäten
3.5. Automorphismengruppen

4. Analytische Fortsetzung
4.1. Exponentialfunktion und Logarithmus
4.2. Analytische Fortsetzung längs Kreisketten
4.3. Analytische Fortsetzung längs Kurven
4.4. Analytische Fortsetzung und Kurvenintegrale
4.5. Homotopie und Fundamentalgruppe
4.6. Der Monodromiesatz

5. Die Umlaufzahlversion des Cauchyschen Integralsatzes
5.1. Die Umlaufzahl
5.2. Der Cauchysche Integralsatz

6. Der Residuensatz
6.1. Residuen
6.2. Anwendungen des Residuensatzes in der reellen Analysis
6.3. Nullstellen, Polstellen und der Satz von Rouché

7. Konvergenzsätze

8. Der Riemannsche Abbildungssatz

9. Parerga und Paralipomena


H. Geiges, 5.12.19