H. Geiges
Sommersemester 2020
Vorlesung: Mo, Mi 8-9:30 im Hörsaal C, Hörsaalgebäde
Beginn 6. April
Bis auf weiteres keine Präsenzveranstaltungen
Sprechstunde: Mo, Do 10-11
Zuständige Assistenten: Tilman Becker, Laura Jaust
Hier
finden Sie das Buch Einführung in die
Komplexe Analysis von Fischer und Lieb als eBook.
Sie haben freien Zugriff darauf, wenn Sie sich per VPN
im Universitätsnetz anmelden;
eine Anleitung dazu finden Sie
hier.
Diese Neufassung des unten genannten Buches
Funktionentheorie der selben Autoren ist
sehr leserfreundlich und bestens geeignet als Begleitlektüre
zum Skript.
Die Übungsblätter finden Sie unten auf dieser Seite.
Mit Funktionentheorie bezeichnet man traditionell das
Studium von komplexwertigen Funktionen, die auf Gebieten der
komplexen Ebene definiert und überall komplex differenzierbar sind.
Diese sogenannten holomorphen
Funktionen sind einerseits sehr gewöhnlich:
die wichtigsten Funktionen der rellen Analysis (wie z.B. Polynome,
trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktion und Logarithmus)
besitzen eine natürliche Erweiterung zu einer
holomorphen Funktion. Andererseits treten ungewöhnliche
neue Phänomene auf. So sind komplex differenzierbare
Funktionen automatisch unendlich oft differenzierbar, und ihr
Werteverhalten ist schon durch das Verhalten in einer kleinen
offenen Menge weitgehend festgelegt. Noch erstaunlicher ist,
daß sich manche Fragen der reellen Analysis
erst durch den Umweg über eine holomorphe
Erweiterung beantworten lassen. Ein Beispiel hierfür ist
die Berechnung gewisser uneigentlicher Integrale.
Kenntnisse in Funktionentheorie sind ein unverzichtbarer
Bestandteil mathematischer Bildung, auch für
Physiker. Methoden und Ergebnisse der komplexen Analysis
finden Anwendungen in vielen anderen Bereichen der Mathematik
(z.B. konforme Abbildungen in der Geometrie) und in der
Physik (ebene Strömungen, Wärmeleitungsgleichung
etc.).
Literatur:
Ich hefte mein eigenes Konzept
in einem Ordner in der Mathematischen Bibliothek ab, so daß Sie
bei allfälligen Unklarheiten oder Versäumen der Vorlesung
dort nachschlagen können.
Daneben empfehle ich folgende Bücher:
W. Fischer, I. Lieb: Funktionentheorie, Vieweg, 1985.
K. Jänich: Funktionentheorie, Springer, 1999.
T. Needham: Visual Complex Analysis, Oxford University Press, 1997.
Zulassungskriterium für die
Abschlußklausur:
60% der "Bearbeitungspunkte" aus den regulären Übungsaufgaben.
Klausurtermine:
Samstag, 25.7.20, 9:00-12:00, Aula 1
(Hauptgebäude)
Donnerstag, 24.9.20, 9:00-12:00, Hörsaal C
Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Inhaltsverzeichnis:
1. Holomorphe Funktionen
1.1. Komplexe Differenzierbarkeit
1.2. Potenzreihen
1.3. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
2. Der Cauchysche Integralsatz und Folgerungen
2.1. Kurvenintegrale
2.2. Der Cauchysche Integralsatz
2.3. Die Cauchy-Formel und der Potenzreihenentwicklungssatz
2.4. Holomorphiekriterien
2.5. Nullstellen holomorpher Funktionen
2.6. Identitätssatz, Gebietstreue, Maximumprinzip
3. Isolierte Singularitäten
3.1. Drei Typen isolierter Singularitäten
3.2. Meromorphe Funktionen und die Riemannsche Zahlensphähre
3.3. Laurentreihen
3.4. Charakterisierung isolierter Singularitäten
3.5. Automorphismengruppen
4. Analytische Fortsetzung
4.1. Exponentialfunktion und Logarithmus
4.2. Analytische Fortsetzung längs Kreisketten
4.3. Analytische Fortsetzung längs Kurven
4.4. Analytische Fortsetzung und Kurvenintegrale
4.5. Homotopie und Fundamentalgruppe
4.6. Der Monodromiesatz
5. Die Umlaufzahlversion des Cauchyschen Integralsatzes
5.1. Die Umlaufzahl
5.2. Der Cauchysche Integralsatz
6. Der Residuensatz
6.1. Residuen
6.2. Anwendungen des Residuensatzes in der reellen Analysis
6.3. Nullstellen, Polstellen und der Satz von Rouché
7. Konvergenzsätze
8. Der Riemannsche Abbildungssatz
9. Parerga und Paralipomena
H. Geiges, 5.12.19