Sprechstunde: nach Vereinbarung (Raum 222)

Übungen: Do 10-11:30, Übungsraum 1, Beginn: 14.4.22

Hier der Link zum ILIAS-Kurs. Die zuständigen Assistenten sind Rima Chatterjee (rchatt at math) und Tilman Becker (tibecker at math).

Die Geometrische Topologie beschäftigt sich mit topologischen Fragen, die beim Studium spezieller Räume auftreten, hier insbesondere Flächen und 3-Mannigfaltigkeiten. Themen der Vorlesung sind: Knoten und Zöpfe, Heegaard-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten, Homöomorphismen von Flächen, verzweigte Überlagerungen, Chirurgie von 3-Mannigfaltigkeiten, Beschreibungen der Poincaré-Homologiesphäre (durch Chirurgie, Klempnerei, via Heegaard-Zerlegung, als Brieskorn-Mannigfaltigkeit, als Quotient der 3-Sphäre etc.). Vorausgesetzt werden die Grundvorlesungen und eine gewisse Vertrautheit mit der Fundamentalgruppe, aber keine homologischen Methoden aus der Algebraischen Topologie.

Literatur:

V. V. Prasolov, A. B. Sossinsky: Knots, Links, Braids and 3-Manifolds, AMS, 1997
D. Rolfsen: Knots and Links, Publish or Perish, 1976
P. Cromwell: Knots and Links, Cambridge University Press, 2004

Kriterium für die Zulassung zur Abschlußprüfung: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)

Inhaltsverzeichnis:

0. Struktursätze für 3-Mannigfaltigkeiten

1. Knoten und Verschlingungen

2. Knotenpolynome
2.1. Das Kauffman-Polynom
2.2. Das Jones-Polynom

3. Zöpfe
3.1. Die Zopfgruppe
3.2. Zöpfe und Knoten
3.3. Reine Zöpfe und Homöomorphismen der 2-Scheibe

4. 3-Mannigfaltigkeiten
4.1. Top - PL - Diff
4.2. Heegaard-Zerlegung
4.3. Das Komplement des Kleeblatt-Knotens
4.4. Linsenräume

5. Homöomorphismen von Flächen -
    Chirurgiebeschreibung von 3-Mannigfaltigkeiten

6. Verzweigte Überlagerungen
6.1. Verzweigte Überlagerungen von Flächen - die Riemann-Hurwitz-Formel
6.2. Die Fermat-Kurve in der komplex projektiven Ebene
6.3. Verzweigte Überlagerungen von 3-Mannigfaltigkeiten

7. Dehn-Chirurgie von 3-Mannigfaltigkeiten
7.1. Der Chirurgie-Koeffizient
7.2. Chirurgie entlang des trivialen Knotens in der 3-Sphähre
7.3. Verschlingungszahlen und ganzzahlige Chirurgie
7.4. Modifikation von Chirurgie-Beschreibungen
7.5. Linsenräume und Kettenbrüche
7.6. Chirurgie-Beschreibung der Poincaré-Sphäre

8. Die allgegenwärtige Poincaré-Sphäre
8.1. Heegaard-Zerlegung
8.2. Klempnerei
8.3. Verzweigte Überlagerung
8.4. Seifert-Mannigfaltigkeiten
8.5. Brieskorn-Mannigfaltigkeiten

H. Geiges, 27.11.21