H. Geiges
Wintersemester 2008/09
Vorlesung: Mo, Di 14-16 im Hörsaal des MI
Sprechstunde: Di 15:45-16:45, Mi 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 208)
Zuständige Assistentin: Yvonne Deuster (Raum 225), Sprechstunde: Di 10-11
In Praise of
Lectures (von Prof. T. W. Körner,
University of Cambridge)
Die Vorlesung Elementare Differentialgeometrie richtet sich an
Studenten ab dem 3. Semester und ist auch im Rahmen des
Lehramtsstudiums sehr zu empfehlen. Wir behandeln die klassische
Theorie von Kurven und Flächen im dreidimensionalen Raum,
wie sie von Carl Friedrich Gauß in seiner bahnbrechenden Arbeit
Disquisitiones generales circa superficies curvas von 1827
entwickelt wurde. Im Zentrum steht die lokale und globale
Geometrie von Flächen, zu deren Beschreibung
verschiedene Krümmungsgrößen dienen. Damit kann man z.B.
verstehen, warum es nicht möglich ist, exakte Karten der
Erdoberfläche anzulegen. Der Begriff der Geodätischen,
d.h. lokal kürzesten Wegen auf Flächen, spielt hier eine
wichtige Rolle. Diese Kurven sind auch in der Physik von Bedeutung,
etwa bei der Beschreibung von Lichtstrahlen in Modellen der
Allgemeinen Relativitätstheorie.
Ein herausragender Satz (lateinisch Theorema Egregium)
behandelt die Tatsache, daß die zunächst extrinsisch -
d.h. durch Bezug auf den umgebenden 3-dimensionalen Raum -
definierte Gauß-Krümmung in Wirklichkeit eine
intrinsische Größe ist, d.h. von "2-dimensionalen"
Bewohnern der Fläche direkt bestimmt werden kann.
Mit dem Satz von Gauß-Bonnet wird dann das Zusammenspiel zwischen
lokaler Geometrie und globaler Topologie von Flächen behandelt. Grob
gesprochen besagt dieser Satz, daß man durch Messung der lokalen
Krümmung überall auf der Fläche entscheiden kann,
ob man sich etwa auf einer Sphäre oder einem Torus befindet.
Darüber hinaus wird eine Einführung
in die Theorie der Mannigfaltigkeiten gegeben, die von Riemann
in seinem berühmten Habilitationsvortrag von 1854 angestoßen
wurde. Diese Räume bilden die Grundlage für weite
Teile der modernen Differentialgeometrie, Topologie und Physik.
Auf den Titelseiten der Zeitungen landete die
Theorie der Mannigfaltigkeiten vor zwei Jahren mit der spektakulären
Lösung der Poincaré-Vermutung durch Grisha Perelman.
Erforderliche Vorkenntnisse: Analysis I&II und
Lineare Algebra I&II, oder Mathematik für Physiker I&II
Literatur:
C. Bär: Elementare Differentialgeometrie,
de Gruyter, 2001.
M. P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und
Flächen, Vieweg, 1983.
P. Dombrowski:150 years after Disquisitiones generales circa
superficies curvas, Société Mathématique de
France, 1979.
R. S. Millman, G. D. Parker: Elements of Differential Geometry,
Prentice Hall, 1977.
Zulassungsvoraussetzung zur Abschlußklausur:
50% der Übungsaufgaben
sinnvoll bearbeitet.
Hinweis für Nicht-Mathematiker:
Für das Studium Integrale kann man bei dieser Vorlesung
6 Leistungspunkte erhalten nur durch Bearbeiten von Übungsaufgaben.
Die Klausur findet am Samstag, den 14.2.09 von
9 bis 12 Uhr im Großen Hörsaal der Biologie
(Gyrhofstr. 15) statt;
die Nachklausur am Freitag den 27.3.09 von 9 bis 12 Uhr
im Hörsaal I der Physik.
Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)
Inhaltsverzeichnis:
0. Überblick
1. Lokale Kurventheorie
2. Globale Theorie ebener Kurven - Der Umlaufsatz
3. Lokale Flächentheorie
3.1. Flächenstücke, Tangentialebene
3.2. Flächen, differenzierbare Funktionen
3.3. Die erste Fundamentalform
3.4. Normalkrümmung, geodätische Krümmung,
Ableitungsgleichungen
3.5. Geodätische
3.6. Parallelismus
3.7. Die zweite Fundamentalform und die Weingarten-Abbildung
3.8. Krümmungsbegriffe
3.9. Minimalflächen
3.10. Isometrien
3.11. Riemannsche Krümmung und das Theorema Egregium
4. Globale Flächentheorie
4.1. Eine Charakterisierung der Sphäre
4.2. Geodätische Parallelkoordinaten
4.3. Der lokale Satz von Gauß-Bonnet
4.4. Euler-Charakteristik und der globale Satz von Gauß-Bonnet
4.5. Eiflächen
4.6. Vektorfelder auf Flächen -
Der Poincaré-Hopfsche Indexsatz
5. Mannigfaltigkeiten
5.1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten: Definitionen & Beispiele
5.2. Der Tangentialraum
5.3. Vektorfelder und die Lie-Klammer
5.4. Integralkurven und die Lie-Ableitung
5.5. Kovariante Ableitung
5.6. Riemannsche Metriken und der Levi-Civita-Zusammenhang
5.7. Der Krümmungstensor
H. Geiges, 28.1.09