Sprechstunde: Di 15:30-16:30, Mi 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 208)

Zuständiger Assistent: Kai Zehmisch (Raum 223)

Die Vorlesung Topologie liefert eine elementare Einführung in die Methoden und Ergebnisse der Algebraischen Topologie und richtet sich an Studenten ab dem 3. Semester. Ziel der Vorlesung ist insbesondere die Entwicklung der simplizialen Homologietheorie. Die grundsätzliche Idee der Algebraischen Topologie besteht darin, geometrische Objekte (wie z.B. Flächen) dadurch zu klassifizieren, daß man ihnen algebraische Invarianten (Zahlen, Gruppen,...) zuordnet, die man leichter unterscheiden kann.

Laut Frank Adams, einem der bedeutendsten Topologen des letzten Jahrhunderts, sieht ein Kurs in Homologietheorie typischerweise wie folgt aus. 13 Wochen: Wie baut man ein Auto? --- Eine Woche: Warum ist es gut, ein Auto zu haben? Weil man dann von A nach B fahren kann.

In dieser Einführung in die Homologietheorie sollen dagegen von Anfang an geometrische Anwendungen mit im Vordergrund stehen. Zunächst behandeln wir grundlegende Begriffe wie Überlagerungen, Homotopie und Fundamentalgruppe von topologischen Räumen. Danach wird die simpliziale Homologietheorie entwickelt, mit Anwendungen (u.a.) aus der geometrischen Topologie (Klassifikation von Flächen), aus der Gastronomie (Schinken-Sandwich-Theorem) und der Meteorologie: Auf der Erde gibt es stets zwei antipodale Punkte, an denen die gleiche Temperatur und Luftfeuchtigkeit herrschen.

Erforderliche Vorkenntnisse: Etwas mengentheoretische Topologie (Stetigkeit, Kompaktheit) und elementare Algebra (Gruppen, Ringe, Homomorphismen) aus den Anfängervorlesungen Analysis I, II und Lineare Algebra I, II.

Literatur:

M.A. Armstrong: Basic Topology, Springer, 1983.
T. tom Dieck: Topologie, 2. Auflage, de Gruyter, 2000.
K. Jänich:Topologie, Springer, 1996.
W.S. Massey: A Basic Course in Algebraic Topology, Springer, 1991.

Zulassungsvoraussetzung zur Abschlußklausur: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.
Hinweis für Nicht-Mathematiker: Für das Studium Integrale kann man bei dieser Vorlesung 6 Leistungspunkte erhalten nur durch Bearbeiten von Übungsaufgaben.

Übungen: Do 8:00-9:30, S83; Fr 8:00-9:30, S85 (Philosophikum)

Übungsblätter:
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Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
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Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)
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Inhaltsverzeichnis:

1. Zusammenhang
1.1. Definition des Zusammenhangs
1.2. Anwendungen

2. Quotiententopologie
2.1. Quotientenräume
2.2. Topologische Gruppen und homogene Räume
2.3. Orbiträume
2.4. Zusammenschlagen eines Teilraumes
2.5. Zusammenkleben von Räumen

3. Homotopie und Fundamentalgruppe
3.1. Homotope Abbildungen
3.2. Konstruktion der Fundamentalgruppe
3.3. Bestimmung der Fundamentalgruppe
3.4. Homotopietyp
3.5. Anwendungen

4. Simplizialkomplexe
4.1. Triangulierung
4.2. Baryzentrische Unterteilung
4.3. Simpliziale Approximation
4.4. Der Brouwersche Fixpunktsatz

5. Simplizialkomplexe und Fundamentalgruppe
5.1. Endlich präsentierte Gruppen
5.2. Die Kantengruppe eines Komplexes
5.3. Das Theorem von Seifert und van Kampen

6. Flächen
6.1. Der Klassifikationssatz
6.2. Normalform triangulierter Flächen
6.3. Die Fundamentalgruppe von Flächen

7. Simpliziale Homologie
7.1. Definition der Homologiegruppen
7.2. Erste Berechnungen von Homologiegruppen
7.3. Kettenabbildungen
7.4. Topologische Invarianz der Homologie
7.5. Die Mayer-Vietoris-Sequenz

8. Abbildungsgrad, Lefschetz-Zahl und Euler-Charakteristik
8.1. Abbildungen von Sphären
8.2. Die Euler-Poincaré-Formel
8.3. Der Satz von Borsuk-Ulam
8.4. Der Fixpunktsatz von Lefschetz

9. Zugabe: Kohomologie und die Dimension reeller Divisionsalgebren

H. Geiges, 25.1.10