Sprechstunde: Di 14-15, Do 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 208)

Zuständiger Assistent: Kai Zehmisch (Raum 223)

Das Studium der Bewegung von Sternen, Planeten und Monden ist das zweitälteste Gewerbe der Menschheit [Saari, 1990].
In dieser Einführung in die Himmelsmechanik behandeln wir zunächst das klassische Keplerproblem (d.h. die Bewegung von zwei Körpern unter dem Einfluß wechselseitiger Anziehungskraft). Danach werden wir ausgewählte Aspekte des n-Körperproblems diskutieren, insbesondere die klassischen Lösungen des Dreikörperproblems von Euler und Lagrange. Geplant ist weiter eine Einführung in die Hamilton-Jacobi-Theorie mit Anwendungen auf Stabilitätsfragen. Falls es die Zeit erlaubt, werden auch einige Aspekte der Störungstheorie vorgestellt (Perihelpräzession, Mondtheorie).
Ziel der Vorlesung soll es insbesondere sein, die überraschend vielfältigen mathematischen Bezüge der Himmelsmechanik zu beleuchten. So führt z.B. das Keplerproblem zum Studium von Geodätischen in der sphärischen, euklidischen oder hyperbolischen Geometrie, was wir zum Anlaß nehmen werden, die relevanten Grundbegriffe der elementaren Differentialgeometrie einzuführen. Das Dreikörperproblem wiederum ist auch interessant im Zusammenhang mit zum Teil ganz aktuellen Entwicklungen in der 3-dimensionalen Topologie.

Erforderliche Vorkenntnisse: Es wird nur der Stoff aus den Anfängervorlesungen vorausgesetzt, ungefähr im Umfang meiner Vorlesungen Mathematik I und II der letzten beiden Semester. Dies beinhaltet insbesondere Grundkenntnisse über gewöhnliche Differentialgleichungen und Untermannigfaltigkeiten.

Literatur:

M. van Haandel and G. Heckman: Teaching the Kepler laws for Freshmen,
     The Mathematical Intelligencer 31 (2009), no. 2, 40-44.
R. W. Hall and K. Josić: Planetary motion and the duality of force laws,
     SIAM Review 42 (2000), 115--124.
C. M. Linton: From Eudoxus to Einstein - A History of Mathematical Astronomy,
      Cambridge University Press, 2004.
J. Milnor: On the geometry of the Kepler problem,
     The American Mathematical Monthly 90 (1983), 353-365.
J. Moser, E. Zehnder: Notes on Dynamical Systems, American Mathematical Society, 2005.
R. Ortega Ríos, A. J. Ureña Alcázar: Introducción a la mécanica celeste, Editorial Universidad de Granada, 2010.
H. Pollard: Mathematical Introduction to Celestial Mechanics, Prentice-Hall, 1966.
D. G. Saari: A visit to the Newtonian N-body problem via elementary complex variables,
     The American Mathematical Monthly 97 (1990), 105-119.

Abschlußklausur: Fr 15.2.13, 9:00-12:00, Ph I
Nachklausur: Fr 22.3.13, 9:00-12:00, Ch I

Zulassungsvoraussetzung zur Abschlußklausur: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.
Mit bestandener Klausur gibt es 9 Leistungspunkte, unabhängig vom Studiengang (Bachelor) -
für eine Aufstockung auf Master-Niveau ist eine zusätzliche kleine Hausarbeit erforderlich.
Hinweis für Nicht-Mathematiker: Für das Studium Integrale kann man bei dieser Vorlesung 6 Leistungspunkte erhalten
nur durch Bearbeiten von Übungsaufgaben (bei Bedarf auch mit Note).

Tutorium: Mi 8-9:30, Raum S14 im Seminargebäude, Beginn: 17.10.12

Übungen:
Gruppe 1: Fr 8:00 S 13 im Seminargebäude,
Gruppe 2: Fr 10:00 Großer Hörsaal der Botanik,
Gruppe 3: Fr 12:00 S 24 im Seminargebäude.

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)
Übungsblatt 14 (pdf)

Inhaltsverzeichnis:

1. Das Zentralkraftproblem
1.1. Drehimpuls und zweites Keplersches Gesetz
1.2. Energieerhaltung

2. Das Keplerproblem
2.1. Kegelschnitte
2.2. Das erste Keplersche Gesetz
2.3. Exzentrizität und Energie
2.4. Das dritte Keplersche Gesetz

3. Die Dynamik des Keplerproblems
3.1. Anomalien und die Keplergleichung
3.2. Lösung der Keplergleichung
  3.2.1. Das Newton-Verfahren
  3.2.2. Bessel-Funktionen
3.3. Der parabolische Fall: kubische Gleichungen

4. Das Zweikörperproblem
4.1. Reduktion auf relative Koordinaten
4.2. Reduktion auf baryzentrische Koordinaten

5. Das n-Körperproblem
5.1. Das Newton-Potential
5.2. Maximale Lösungen
5.3. Die Lagrange-Jacobi-Identität
5.4. Impulserhaltung
5.5. Sundmans Theorem über totalen Kollaps

6. Das Dreikörperproblem
6.1. Die Dreieckslösungen von Lagrange
6.2. Die kollinearen Lösungen von Euler
6.3. Das eingeschränkte Dreikörperproblem
  6.3.1. Die Jacobi-Konstante
  6.3.2. Die fünf Librationspunkte
  6.3.3. Die Hillschen Gebiete

7. Die Differentialgeometrie des Keplerproblems
7.1. Der Satz von Hamilton über den Geschwindigkeitskreis (Bild zur Vorlesung)
7.2. Inversion und stereographische Projektion
7.3. Großkreise auf der 3-Sphäre und der Satz von Moser
7.4. Hyperbolische Geometrie
7.5. Die Sätze von Osipov und Belbruno
7.6. Transformationen in der komplexen Ebene

8. Hamilton-Jacobi-Theorie
8.1. Kanonische Transformationen und Symplektomorphismen
8.2. Erzeugende Funktionen
8.3. Gleichgewichtspunkte und Stabilität
  8.3.1. Ljapunow-Stabilität
  8.3.1. Infinitesimale Stabilität

9. Die Topologie des Keplerproblems
9.1. Der geodätische Fluß auf der 2-Sphäre
9.2. Das Keplerproblem als Hamiltonsches System
9.3. Der projektive Raum
9.4. Die Gruppe SO(3) als Mannigfaltigkeit
9.5. Die Quaternionen

H. Geiges, 14.1.13