Sprechstunde: Di 15:30-16:30 Uhr

Zuständiger Assistent: Tilman Becker

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Wie bearbeitet man sinnvoll ein Übungsblatt? (von Prof. Manfred Lehn)

In praise of lectures (von Prof. Tom Körner)

Die Lineare Algebra ist ursprüglich aus der Analytischen Geometrie hervorgegangen. In meiner Jugendzeit hieß die einführende Vorlesung in diesem Bereich oft noch Analytische Geometrie und Lineare Algebra. In der weiteren Entwicklung hat sich der Fokus etwas verschoben zu einer Betonung linearer Strukturen, die auch außerhalb geometrischer Problemstellungen in der Mathematik, Physik und Anwendungen relevant sind. Die Lineare Algebra I ist der erste Teil einer zweisemestrigen Vorlesung, die neben dem Anfängerzyklus in Analysis die Grundlagen für alle weiterführenden mathematischen Studien legt.

Warum Lineare Algebra? von Gerd Fischer und Günter M. Ziegler.

Literaturhinweise: Ich plane nicht, ein Skript zu dieser Vorlesung herauszugeben, allerdings werde ich mein Manuskript im ILIAS-Kurs zur Verfügung stellen. Es ist zum Verständnis der Vorlesung ohnehin unerläßlich, daß Sie in der Vorlesung mitschreiben; der Unterrichtspsychologe wird Ihnen das gerne erklären. (Siehe dazu auch Fußnote 3 in dem Artikel von Tom Körner.)

Meine Vorlesung folgt nicht einem bestimmten Buch, orientiert sich aber am ehesten an denen von Bröcker und Jänich:

T. Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Springer Basel (2004).
K. Jänich: Lineare Algebra (11. Auflage), Springer (2008).

Es gibt aber eine Reihe von weiteren sehr guten Lehrbüchern zur Linearen Algebra. Es kann für den Lernerfolg durchaus hilfreich sein, begleitend ein Buch zu lesen, das einen etwas anderen Stil hat als der Dozent. Es lohnt sich also ein Gang in unsere schöne Institutsbibliothek, so daß Sie selbst sehen können, welcher Stil Ihnen am besten zusagt, bevor Sie sich zum Kauf eines Buches entscheiden. Das Buch

G. Fischer: Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Vieweg+Teubner (2011)

ist, wie der Titel schon sagt, als Lernbuch konzipiert, mit vielen ausführlichen Erläuterungen und durchgerechneten Beispielen. Aber auch das schon genannte Buch von Jänich enthält nützliches Tests zur Selbstkontrolle mit Hinweisen am Ende des Buches.

Als Ergänzungslektüre empfehle ich Ihnen folgende Bücher, die viel interessantes Material enthalten, das jeder mathematisch gebildete Mensch kennen sollte, das aber in den Standardvorlesungen schon aus Zeitgründen etwas zu kurz kommt. Hier werden Sie vieles finden, was sie gerne schon in der Schule gelernt hätten:

R. Courant and H. Robbins: What is Mathematics?/Was ist Mathematik?, Springer (1992).
P.J. Davis and R. Hersh: The Mathematical Experience/Erfahrung Mathematik, Birkhäuser (1994).
H.-D. Ebbinghaus et al.: Zahlen, Springer (1983).

Das Englische wird immer mehr zur Universalsprache in der Mathematik. Das mag man bedauern oder nicht, in jedem Fall sollte man sich frühzeitig auch an die englische Terminologie gewöhnen. Hier ein Beispiel eines englischen Lehrbuches, das trotz des etwas kühnen Titels einen guten Eindruck auf mich macht:

S. Axler: Linear Algebra Done Right (3. Auflage), Springer (2015).

Eine frei verfügbare Kurzversion (ohne Beweise, Beispiele und Übungen), vielleich auch nützlich als Vademecum, finden Sie hier. Die 4. Auflage soll im November 2023 erscheinen und komplett frei verfügbar sein, siehe hier.
Axler vertritt die interessante These, daß man die Lineare Algebra so weit als möglich ohne den Determinantenbegriff aufbauen sollte. In Teilen werde ich diesem Zugang folgen.

Hier noch zwei nützliche Referenzen, falls Sie Literatur zu Beweistechniken oder dem guten Aufschreiben von Lösungen zu Übungsaufgaben suchen:

A. Beutelspacher: "Das ist o.B.d.A. trivial!", Vieweg (1991).
K. Houston: How to Think Like a Mathematician, Cambridge University Press (2009).

Tutorium zur Vorlesung: dienstags 14:00 Uhr im Hörsaal des Mathematischen Instituts; Beginn: 10. Oktober.

Zulassungskriterium für die Abschlußklausur: 50% der Übungspunkte. Außerdem sollte mindestens einmal in den Übungen vorgerechnet werden.

Klausurtermine:
Samstag, 17.02.24, 16:00-19:00, Kurt-Alder-Hörsaal
Mittwoch, 13.03.24, 8:00-11:00, Kurt-Alder-Hörsaal

Übungsblätter:
Übungsblatt 0 (pdf)
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)
Übungsblatt 14 (pdf)

Inhaltsverzeichnis:

0. Warum Lineare Algebra?
0.1. Kartesische Koordinaten
0.2. Vektoraddition und Skalarmultiplikation
0.3. Das Skalarprodukt
0.4. Der Satz des Thales
0.5. Die Geometrie linearer Gleichungssysteme
0.6. Die Determinante
0.7. Linearisierung

1. Grundlagen
1.1. Mengen
1.2. Abbildungen

2. Vektorräume
2.1. Reelle Vektorräume
2.2. Die komplexen Zahlen
2.3. Körper
2.4. Unterräume

3. Endlich-dimensionale Vektorräume
3.1. Lineare Unabhängigkeit
3.2. Der Dimensionsbegriff
3.3. Die Dimensionsformel für Unterräume

4. Lineare Abbildungen
4.1. Der Vektorraum linearer Abbildungen
4.2. Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen
4.3. Matrixdarstellung linearer Abbildungen
4.4. Endomorphismen der euklidischen Ebene

5. Matrizenrechnung
5.1. Multiplikation
5.2. Invertierbare Matrizen
5.3. Basistransformation
5.4. Zeilenrang = Spaltenrang
5.5. Rangbestimmung
5.6. Wie invertiert man eine quadratische Matrix?
5.7. Lineare Gleichungssysteme

6. Die Determinante
6.1. Definition und Konstruktion der Determinante
6.2. Berechnung von Determinanten
6.3. Die Cramersche Formel für die inverse Matrix
6.4. Die Determinante eines Endomorphismus

7. Euklidische Vektorräume
7.1. Skalarprodukte
7.2. Normen
7.3. Orthogonalität
7.4. Orthonormalbasen
7.5. Das orthogonale Komplement
7.6. Isometrien und die orthogonale Gruppe
7.7. Die geometrische Bedeutung der Determinante

8. Eigenwerttheorie
8.1. Eigenwerte und Eigenvektoren
8.2. Polynome
8.3. Das charakteristische Polynom
8.4. Die (linearen) Isometrien des R³

9. Die Hauptachsentransformation
9.1. Selbstadjungierte Endomorphismen
9.2. Symmetrische Matrizen
9.3. Orthogonalprojektionen
9.4. Existenz eines Eigenwertes
9.5. Hauptachsentransformation und Diagonalisierung
9.6. Anwendungen in Geometrie und Analysis

H. Geiges, 17.5.23