Elementare Differentialgeometrie (WiSe 2013/14)

Mo 16:00 - 17:30 und Di 16:00 - 17:30
großer Hörsaal der Botanik

Vorlesung



Inhalt:

Die Vorlesung Elementare Differentialgeometrie richtet sich an
Studenten ab dem 3. Semester und ist auch im Rahmen des
Lehramtsstudiums sehr zu empfehlen. Wir behandeln die klassische
Theorie von Kurven und Flächen im dreidimensionalen Raum,
wie sie von Carl Friedrich Gauß in seiner bahnbrechenden Arbeit
Disquisitiones generales circa superficies curvas von 1827
entwickelt wurde. Im Zentrum steht die lokale und globale
Geometrie von Flächen, zu deren Beschreibung
verschiedene Krümmungsgrößen dienen. Damit kann man z.B.
verstehen, warum es nicht möglich ist, exakte Karten der
Erdoberfläche anzulegen. Der Begriff der Geodätischen,
d.h. lokal kürzesten Wegen auf Flächen, spielt hier eine
wichtige Rolle. Diese Kurven sind auch in der Physik von Bedeutung,
etwa bei der Beschreibung von Lichtstrahlen in Modellen der
Allgemeinen Relativitätstheorie.

Ein herausragender Satz (lateinisch Theorema Egregium)
behandelt die Tatsache, daß die zunächst extrinsisch -
d.h. durch Bezug auf den umgebenden 3-dimensionalen Raum -
definierte Gauß-Krümmung in Wirklichkeit eine
intrinsische Größe ist, d.h. von "2-dimensionalen"
Bewohnern der Fläche direkt bestimmt werden kann.

Mit dem Satz von Gauß-Bonnet wird dann das Zusammenspiel zwischen
lokaler Geometrie und globaler Topologie von Flächen behandelt. Grob
gesprochen besagt dieser Satz, daß man durch Messung der lokalen
Krümmung überall auf der Fläche entscheiden kann,
ob man sich etwa auf einer Sphäre oder einem Torus befindet.

Darüber hinaus wird eine Einführung
in die Theorie der Mannigfaltigkeiten gegeben, die von Riemann
in seinem berühmten Habilitationsvortrag von 1854 angestoßen
wurde. Diese Räume bilden die Grundlage für weite
Teile der modernen Differentialgeometrie, Topologie und Physik.
Auf den Titelseiten der Zeitungen landete die
Theorie der Mannigfaltigkeiten vor sieben Jahren mit der spektakulären
Lösung der Poincaré-Vermutung durch Grisha Perelman.



Inhaltsverzeichnis:

0. Überblick

1. Lokale Kurventheorie

2. Globale Theorie ebener Kurven - Der Umlaufsatz

3. Lokale Flächentheorie
3.1. Flächenstücke, Tangentialebene
3.2. Flächen, differenzierbare Funktionen
3.3. Die erste Fundamentalform
3.4. Normalkrümmung, geodätische Krümmung, Ableitungsgleichungen
3.5. Geodätische
3.6. Parallelismus
3.7. Die zweite Fundamentalform und die Weingarten-Abbildung
3.8. Krümmungsbegriffe
3.9. Minimalflächen
3.10. Isometrien
3.11. Riemannsche Krümmung und das Theorema Egregium

4. Globale Flächentheorie
4.1. Eine Charakterisierung der Sphäre
4.2. Geodätische Parallelkoordinaten
4.3. Der lokale Satz von Gauß-Bonnet
4.4. Euler-Charakteristik und der globale Satz von Gauß-Bonnet
4.5. Eiflächen
4.6. Vektorfelder auf Flächen - Der Poincaré-Hopfsche Umlaufsatz

5. Mannigfaltigkeiten
5.1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten: Definitionen & Beispiele
5.2. Der Tangentialraum
5.3. Vektorfelder und die Lie-Klammer
5.4. Integralkurven und die Lie-Ableitung
5.5. Kovariante Ableitung
5.6. Riemannsche Metriken und der Levi-Civita-Zusammenhang
5.7. Der Krümmungstensor



Literatur:

C. Bär: Elementare Differentialgeometrie, de Gruyter, 2001.
M. P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg, 1983.
P. Dombrowski:150 years after Disquisitiones generales circa superficies curvas,
Société Mathématique de France, 1979.
H. Geiges: Elementare Differentialgeometrie, Vorlesungsskript, Universität zu Köln, 2008.
J. Jost: Differentialgeometrie und Minimalflächen, Springer, 1994.
R. S. Millman, G. D. Parker: Elements of Differential Geometry, Prentice Hall, 1977.



Erforderliche Vorkenntnisse:

Analysis I&II und Lineare Algebra I&II, oder Mathematik für Physiker I&II



Übungen:

(siehe auch)



Mi 12:00 - 13:30
SR 3 (Raum 314 MI)
Übungsleiter: Maximilian Müller

Mi 16:00 - 17:30
Kl. Hörsaal (Raum 313 MI)
Übungsleiter: Johanna Meumertzheim

Fr 12:00 - 13:30
Kl. Hörsaal (Raum 313 MI)
Übungsleiter: Marc Kegel

Fr 16:00 - 17:30
S90 Philosophicum
Übungsleiter: Marc Kegel

Fr 16:00 - 17:30
S91 Philosophicum
Übungsleiter: Maximilian Müller



Klausurtermine:

Nachklausur - Ergebnisse:

5413141   Note 2,0
5431530   Note 2,0
5452090   Note 2,0

Die Prüfungsergebnisse sind an die zuständigen Ämter weitergeleitet worden.
Staatsexamen: Sie können Ihre Teilnahmescheine bei Frau Deeg abholen.
(siehe auch)



Zulassung zur Klausur:

50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet und eine erfolgreiche
Teilnahme an den Übungen.



Leistungspunkte:

Bereich Lehramt: Geometrie und Topologie (C)
Bereich Bachelor/Master: Geometrie und Topologie

Mit bestandener Klausur gibt es 9 Leistungspunkte, unabhängig vom
Studiengang (Bachelor) - für eine Aufstockung auf Master-Niveau
ist eine zusätzliche kleine Hausarbeit erforderlich.

Für das Studium Integrale kann man bei dieser Vorlesung 6 Leistungspunkte
erhalten. Dazu ist nur das Bearbeiten der Übungsaufgaben erforderlich.



Übungsblätter:

Die Aufgabenzettel werden montags in der Vorlesung ausgeteilt. Die Abgabe
der bearbeiteten Aufgaben erfolgt in den Briefkästen im Container bei der
Physik (Gebäude 318) bis spätestens 13:45 des darauffolgenden montags statt.

Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)