Inhalt

Die klassischen Gruppen, die man bereits aus der linearen Algebra kennt (zum Beispiel die allgemeine lineare Gruppe \(GL_n(\mathbb{C})\), die orthogonale Gruppe \(O_n(\mathbb{R})\), die unitäre Gruppe \(U_n(\mathbb{C})\),...) haben gleichzeitig auch eine natürliche topologische Struktur. Unter einer Schleife in der Gruppe versteht man eine stetige Abbildung vom Kreis in die Gruppe: \(f:S^1 \to G\). Zwei Schleifen kann man punktweise miteinander multiplizieren: \( (f_1\cdot f_2)(z) := f_1(z)\cdot f_2(z)\), ebenso definiert man das Inverse einer Schleife als \(f^{-1}(z):=f(z)^{-1}\). Die Menge der Schleifen ist also selbst eine Gruppe, genannt die Schleifengruppe. Man erhält einen ganzen Zoo an Schleifen, indem man zuätzliche Bedingungen an die Abbildung \( f\) stellt: differenzierbare Schleifen, analytische Schleifen, algebraische Schleifen,..., die, je nach Situation, einen Sinn haben und interessant sind. Die Vorlesung wird anhand von Beispielen auf verschiedene Schleifengruppen eingehen, ihre Struktur, ihre Darstellungstheorie und Anwendungen diskutieren.

Literatur

Pressley, Andrew; Segal, Graema (1986), Loop groups, Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications, New York: Oxford University Press.
Shrawan Kumar: Kac-Moody groups, their flag varities and representation theory. Progress in Mathematics, 204. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002.
Xinwen Zhu: An introduction to affine Grassmanians and the geometric Satake equivalence, arXiv:1603.05593v2